威佐夫博奕(Wythoff Game):

   有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜.

这种情况下是颇为复杂的.我们用(ak,bk)(ak ≤ bk ,k=0,1,2,...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势.前几个奇异局势是：(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20).

l         可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k,奇异局势有如下三条性质：

1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中.

由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 .所以性质1.成立.

2、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势.

事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势.如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势.

3、采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势.

假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0)；如果a = ak ,b > bk,那么,取走b - bk个物体,即变为奇异局势；如果 a = ak , b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势( ab - ak , ab - ak+ b - ak)；如果a > ak ,b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可；如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj (j < k),从第二堆里面拿走 b - bj 即可；第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走 b - aj 即可.

从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜；反之,则后拿者取胜.

l         那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：

ak =[k(1+√5)/2], bk= ak + k (k=0,1,2,...,n 方括号表示取整函数)

奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1.618...,因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[j(1+√5)/2],那么a = a[j],b[j] = a[j] + j,若不等于,那么a = a[j+1],b[j+1] = a[j+1]+ (j + 1),若都不是,那么就不是奇异局势.然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局势.
摘自（http://hi.baidu.com/zhulei632/blog/item/657efefaf299b1dbb58f3152.html）

poj 1067 有奇异局势的判断