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原文：http://www.cnblogs.com/JCSU/articles/1490363.html

 

一、用矩阵运算法解线性方程组

 

1、矩阵运算规则及MATLAB实例

 

(1)  矩阵加(减)法：即两矩阵对应元素相加减，要求两矩阵的阶数必须相同。

      C = A + B

 

(2)  矩阵乘法：m×p阶矩阵A与p×n阶矩阵B的乘积C是一个m×n阶的矩阵。元素C(i, j)的值为A矩阵的第i行和B矩阵的第j列对应元素乘积的和。

      A*B = C

      矩阵乘法一般不满足交换律，即：A*B ≠ B*A

例：

 

 

(3)  矩阵求逆：矩阵的逆阵V定义为满足V*A = I (I为与A同阶的单位矩阵)。只有方阵才可以求逆，而且此方阵的行列式必须不为零，det(A) ≠ 0。如果det(A) = 0，求逆时就会出现无穷大，此时的矩阵称为奇异的。

例：

 

 

(4)  矩阵转置：矩阵的行列互换后构成转置矩阵。如果A是m×n阶的，则A^T是n×m阶的。

例：

 

 

(5)  矩阵分块：矩阵A可以划分成许多小矩阵。

例：

 

 

(5)  矩阵分解为向量：把矩阵沿行向或列向分解为单列或单行向量，常见的是分解为列向量。

其中：

 

 

(6)  行向量左乘列向量：要求两向量的长度必须一致，结果为一个标量。得出的是向量各分量的平方和。如果这些分量是正交的，则得出的是向量的长度平方。它的平方根就是向量长度，也称为向量的范数或2范数。

行向量左乘列向量得到的是，在工程中具有这样计算形式的问题很多，比如用它计算两个向量x和y之间的相关性。

 

(7)  列向量左乘行向量：如果列向量的长度为n，行向量的长度为m，则相乘会得出一个n×m的矩阵，这种方法常常用来生成和计算一些复杂的大矩阵。

 

(8)  矩阵乘法和幂次：A^2 = A*A,  A^n =  A*A*...*A。根据矩阵相乘内阶数必须相等，只有方阵才能乘方和幂次。

 

 

2、初等变换乘子矩阵的生成及MATLAB实例

 

本节通过将原矩阵左乘变换的单位矩阵实现矩阵的初等行变换：

(1) 行交换：将矩阵A的第 i , j 两行互换位置。

 

写成函数E1gen(A,i,j)：

 

 

(2) 行乘数：将矩阵A的第 i 行乘以 k 。

 

 

写成函数E2gen(A,i,k)：

 

 

 

(3) 行相加：将矩阵的第 i 行乘以 k，加到第 j 行。

 

写成函数E3gen(A,i,j,k)：

 

 

实例：

要消去下列矩阵的A(2,1)，求乘子矩阵E3

 

在第二行加以第一行乘 -A(2,1)/A(1,1) = -2，故令E3 = E3gen(A,1,2,-2)

 

综上可知：

1、 行阶梯生成等价于矩阵左乘

因此，整个行阶梯形式U的生成过程，可以看作把原矩阵左乘以一系列的初等变换矩阵E1和E3。把这些初等矩阵的连乘积写成EX，则有: U=EX*A，设其逆为L:

从而有 L*U=A 

就是说，A可以分解为一个准下三角矩阵L和一个上三角（即行阶梯）矩阵U的乘积。MATLAB提供了三角分解的函数lu，它的调用方法是：[L,U]=lu(A)

2、 lu分解是求行阶梯的一个方法

用lu函数求出的U实际上就是A的行阶梯形式（不是简化行阶梯形式）。所以，求简化行阶梯形式用rref函数，而求行阶梯形式可以用lu 函数。不过，它和我们用消元运算所得U的数据不一定相同，尽管得出的阶次和阶梯形状相同。但因为行阶梯形式可以有无数种，用不同步骤算出的结果也不同。只有变成简化行阶梯形式，才能进行比较，看它是不是惟一的。

 

 

3、行列式

(1) 行列式的几何意义：

行列式的几何意义是面积或体积，它的用途很单一，就是判断奇异性，连正负号都不必关心。

(2) 行列式的计算方法：

计算行列式的最好方法还是行阶梯法，可以利用lu分解
                [L,U] = lu(A)
把A分解为一个准下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。因为det(L) = 1，所以U和A的行列式相等。  

               det(A) = det(U)
而三角矩阵U的det(U)很好求。只要把U的主对角线元素连乘就可得到它的行列式。

 

实例：

 

用det求A的行列式值得到相同的结果：

 

 

 

4、矩阵的秩和矩阵求逆

 

矩阵的秩：

(1) 按定义，矩阵的秩是矩阵A中行列式不等于零的最高阶子式的阶次。是用以衡量联立方程中有效方程数目的指数。
(2) 按照定义来计算矩阵的秩，可能遇到的问题也是子矩阵的数量很大，每个矩阵的行列式计算又非常麻烦，其计算量也将是不可接受的天文数字。
(3) 计算矩阵的秩的最好方法是行阶梯法，行阶梯化简后非全为零的行数就是该矩阵的秩。用MATLAB函数r=rank(A)可以检验A的秩，rank函数对A是否是方阵没有要求，即可以有m≠n。

 

矩阵求逆：

(1) 对于n×n方阵A，当r=n时，称A是满秩的，若r<n，必有det(A) = 0，称A是欠秩的或奇异的。奇异矩阵不可以求逆。 
(2) 矩阵求逆的最简单方法也是行阶梯化简，其方法是设定一个由A和I组成的增广矩阵C = [A,I]，求C的简化行阶梯形式UC = rref([A,I])，得出UC = [I,V]。V就显示出这个逆矩阵的内容。

 

求逆实例：

 

矩阵求逆命令：V=inv(A)

 

 

5、条件数—衡量奇异程度的量

(1) 在用数值方法计算矩阵的逆时，由于计算中的误差，人们不大可能得到理想的零合理想的全零行，所以矩阵是否奇异，并不是那么绝对的。
(2) 为了评价矩阵接近‘奇异’的程度，采用了‘条件数’（Condition Number）作为常用的衡量指标。它永远大于1。其数值愈接近于1，计算误差愈小。
(3) MATLAB中，条件数用cond(A)计算，它达到10的4次方以上时，求逆的误差就可能相当可观。像现在，条件数达到10的16次方（注：条件数是逆条件数RCOND的倒数），结果是根本不能用的。

 

6、用矩阵‘除法’解线性方程

 

(1) 如果m = n，则线性代数方程Ax = b中的A是方阵，设det(A)≠0，则它的逆阵存在。将上式左右同乘以inv(A) ，由于inv(A)*A = I，得到

X = inv(A)*b （1）

MATLAB创立了矩阵除法的概念，因为 inv(A)相当于将A放到分母上去，所以可以把上式写成

X = A \ b      （2）

‘\’就称为左除，因为inv(A)是乘在b的左方。

 

(2) 左除’\’解线性方程的扩展

左除‘\’的功能远远超过了矩阵求逆函数inv，inv(A)函数要求A必须是方阵，所以（1）式只能用来解‘适定’方程，而（2）式并不要求A为方阵，在A是m×n阶且m < n（欠定）时，它只要求A与b的行数相等且A的秩为m。所以（2）式也可以用来解欠定方程，在下例中可以看出。此外，运算符‘\’还能用来解超定方程。

 

例：左除’\’解欠定方程

 

得到x=inf，无解。改用行阶梯方法找有效行。左除要求的是系数矩阵的行数与秩相同

 

其中，x是此欠定方程的一个特解。