雁过无痕

要将一个数组的所有元素向左旋转k位，通常有三种算法：

算法1（分组交换）：

若a长度大于b，将ab分成a₀a₁b，交换a₀和b，得ba₁a₀，只需再交换a₁ 和a₀。

若a长度小于b，将ab分成ab₀b₁，交换a和b₀，得b₀ab₁，只需再交换a 和b₁。

不断将数组划分和交换，直到不能再划分为止。分组过程与求最大公约数很相似。

 读写内存各 n到2*n次

算法2 (三次反转)

利用ba=(b^r)^r(a^r)^r=(a^rb^r)^r，先分别反转a、b，最后再对所有元素进行一次反转。

读写内存各约2*n次

算法3 （使用循环链）

假设 n、k的最大公约数为M，则所有序号为 (i + j*k) % n (0<= i < M, 0 <= j < n/M)的元素，构成M个循环链（i值相同的在同一个循环链上）， 每个循环链上的元素移动到前一个元素的元素，就可以交换到最终结果上的位置，因而总共只要读写内存各n次。（比如： 1 2 3 4 5 6，左移2位， 1 3 5 和 2 4 6分别构成两个循环链。）

事实上C++标准算法库提供了现成的函数：rotate函数。按理说，几种算法都比较简单，编译器的库函数又是经过时间检验的，效率即使比手写的差，也不会差太多。但如果对rotate函数进行测试的话，可能会发现标准库的版本慢得可不是一点点。

对VC 2010，运行后面的测试程序，自定义函数（采用算法2）要用99ms，而std::rotate却要1656ms。是库的实现者不懂得用这个简单的算法吗？检查下库的源代码，就会发现：标准算法库中，对C++的三种迭代器（前向迭代器、双向迭代器，随机访问迭代器），分别采用了上面三种算法。直接调用其内部的实现（std::_Rotat函数），重新测试下，可得到下面结果：

        （使用GCC的，请用版本号低于4.5的进行测试）

    从结果可以看出，效率是：算法1 > 算法2 >>> 算法3。 

从理论上讲，算法3只要读写内存各n次，应该是效率最高的算法。这在每次内存读写的开销相差不大时成立。但实际上，由于硬件限制，CPU对内存的访问采用分级缓存机制：一级缓存容量很小但访问速度最快，存放程序的指令和最常用的数据，而二、三级缓存容量较大但访问速度要慢很多。CPU是无法绕过缓存直接访问内存数据（某些特殊指令可以不用一二三级缓存，但它也要用到其它专用缓存），对不在缓存中的数据，必须先载入到缓存中，这个操作是相当昂贵的。对大数组来说，不可能将所有数据都存放在缓存中，而对内存的不连续访问，CPU对内存定位的开销（各级缓存间数据的调整，反复移入或移出数据到缓存）是巨大的，这就造成了算法3的性能在该情况下非常差。测试发现，k = 3时，该算法的效率就已经相当差了。对小数组，尽管该算法读写次数少，但由于各种算法所用时间都很小，这种优势很难体现出来。可以说，算法3在数学上是非常优美的，但是在实际应用中，是一种相当差的算法。

对算法的选择，不应该忽视内存因素。在对随机访问迭代器版本的roate实现上犯这个错误的，可不仅仅是VC，还有著名的STL Port、GCC（GCC从4.5开始libstdc++改用算法1，并做了些优化），以及新兴的libc++。（其它的编译器/库没用过，也就没有测试。）

另外，测试时发现VC 2010的一个bug：前向迭代器的实现版本，当k = 0时，程序直接挂了。

测试代码：