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《编程之美》读书笔记08:2.9 Fibonacci序列

计算Fibonacci序列最直接的方法就是利用递推公式 F(n+2)=F(n+1)+F(n)。而用通项公式来求解是错误的,用浮点数表示无理数本来就有误差,经过n次方后,当n相当大时,误差能足够大到影响浮点数转为整数时的精度,得到的结果根本不准。

用矩阵来计算,虽然时间复杂度降到O(log n),但要用到矩阵类,相当麻烦。观察:

F(n+2)=F(n)+F(n-1)2*F(n-1)+F(n-2)=3*F(n-2)+2*F(n-4)

用归纳法很容易证明 F(n) = F(k)*F(n+1-k) + F(k-1)*F(n-k),利用该递推公式和原递推公式,要计算F(n),只要计算F([n/2])F([n/2]+1),时间复杂度为 O(lg n)如:要计算F(58),由 58 -> 29,30 -> 14,15 -> 7,8 -> 3,4 -> 1,2 可知只要算5次。可以用一个栈保存要计算的数,实际上,将n的最高位1(假设在第k位)左边的0去除掉后,第m次要计算的数是第k位到第k-m+1位这m个位组成的值t(m),则第m-1次要计算的数为t(m-1),且

t(m)=2*t(m-1)+(k-m+1位是否为1)

若第m-1次计算得到了f(k)f(k+1),则第m次计算:

 

k-m+1

已计算

待计算

1

f(k)

f(k+1)

f(2*k+1),f(2*k+2)

0

f(2*k),f(2*k+1)

 

具体公式见下面代码。

下面是计算F(n)最后四位数(某道ACM题)的代码。


 

/*   Fibonacci数列第N个数的最后4位数
    注意,当 N>93 时 第N个数的值超过64位无符号整数可表示的范围。
F(n+2)=F(n)+F(n-1) F(0)=0 F(1)=1  F(2)=1        ==>
F(n)=F(k)*F(n+1-k) + F(k-1)*F(n-k)              ==>
F(2*n)=F(n+1)*F(n)+F(n)*F(n-1)=(F(n+1)+F(n-1))*F(n)=(F(n+1)*2-F(n))*F(n)
F(2*n+1)=F(n+1)*F(n+1)+F(n)*F(n)
F(2*n+2)=F(n+2)*F(n+1)+F(n+1)*F(n)=(F(n+2)+F(n))*F(n+1)=(F(n+1)+F(n)*2)*F(n+1)
 
*/

unsigned fib_last4( unsigned num)
{
  
if ( num == 0 ) return 0;
  
const unsigned M=10000;
  unsigned ret
=1,next=1,ret_=ret;
  unsigned flag
=1, tt=num;
  
while ( tt >>= 1) flag <<= 1;
  
while ( flag >>= 1 ){
    
if ( num & flag ){
      ret_ 
= ret * ret + next * next;
      next 
= (ret + ret + next) * next;
    } 
else {
      
//多加一个M,避免 2*next-ret是负数,造成结果不对
      ret_ = (next + next + M - ret) * ret;
      next 
= ret * ret + next * next;
    }
    ret 
= ret_ % M;
    next 
= next % M;
  }
  
return ret;
}


 



posted on 2010-06-23 23:28 flyinghearts 阅读(4697) 评论(11)  编辑 收藏 引用 所属分类: 算法编程之美

评论

# re: O(log n)求Fibonacci数列(非矩阵法)[未登录] 2010-07-16 11:18 Klion
你好,这篇文章下面这段文字“实际上,将n的最高位1(假设在第k位)左边的0去除掉后,第m次要计算的数是第k位到第k-m+1位这m个位组成的值t(m),则第m-1次要计算的数为t(m-1),且t(m)=2*t(m-1)+(第k-m+1位是否为1)。若第m-1次计算得到了f(k)和f(k+1),则第m次计算:”
不是看的很懂,希望博主给解释下。
主要有以下几点疑问:1.那个最高位左边的是比最高位高的位还是低的位。
2.那个t(m)怎么算的  回复  更多评论
  

# re: O(log n)求Fibonacci数列(非矩阵法) 2010-07-18 05:16 dissertation service
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# re: O(log n)求Fibonacci数列(非矩阵法) 2010-07-21 00:35 flyinghearts
@Klion

以58为例其二进制表示(最左边的0省略)为:
  11 1010
t(1) 1
t(2) 11
t(3) 11 1
t(4) 11 10
t(5) 11 101
t(6) 11 1010

即:
t(1) = 1
t(2) = 3
t(3) = 7
t(4) = 14
t(5) = 29
t(6) = 58

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# re: O(log n)求Fibonacci数列(非矩阵法)[未登录] 2010-07-26 11:40 Klion
@flyinghearts
恩,谢谢了。后来我自己也动手划了下,原来我一开始没理解到,现在我知道那个t(m)怎么算的,也用自己的理解写了点求出这个是干嘛的。
我理解的就是这个t(m)其实就是一个逆向工程,先是判断右移(m-1)位之后的情况,看这个数是奇数还是偶数,如果是奇数就由哪两个数得来,如果是偶数,就由哪两个数得来,由这个可以得到我们要算的结果是算出来的这两个中的小者。  回复  更多评论
  

# re: O(log n)求Fibonacci数列(非矩阵法) 2010-08-02 23:34 flyinghearts
@Klion
58 -> 29 -> 14 -> 7 -> 3 -> 1
t(i)就是这个倒过来。
要计算 F(t(i)) 就要判断 t(i) 是 t(i-1)的2倍,还是2倍加1
(实际上,t(i)没必要计算,只要判断第k-m+1位是否为1就可以了。)
根据这两个情况,决定使用那几个公式。


我最初的代码,就是用一个栈,保存n每次右移1位的结果,
最后根据栈顶是否是奇数,来决定调用那两个公式,出栈。
反复至栈为空。



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# re: 《编程之美》读书笔记08:2.9 Fibonacci序列 —— O(log n)求Fibonacci数列(非矩阵法)[未登录] 2010-10-06 05:47 april
谢谢帖主的分享,不过code算出来的结果是错的,贴主有测试过吗?
递推公式 F(n+2)=F(n)+F(n-1) 是错的
正确的是 F(n+1)=F(n)+F(n-1), 我想这是为什么算出来的结果不是F(n), 而是F(n-1).
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# re: 《编程之美》读书笔记08:2.9 Fibonacci序列 —— O(log n)求Fibonacci数列(非矩阵法)[未登录] 2010-10-06 06:01 april
@april
收回我的评论,虽然递推公式写错(typo),但是code返回结果正确。。  回复  更多评论
  

# re: 《编程之美》读书笔记08:2.9 Fibonacci序列 —— O(log n)求Fibonacci数列(非矩阵法) 2010-12-02 23:34 flyinghearts
@april
确实把公式打错了:
F(n+2)=F(n)+F(n-1) 应该是 F(n+1) = F(n) + F(n-1)
不过后面的公式推导没问题。

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# re: 《编程之美》读书笔记08:2.9 Fibonacci序列 —— O(log n)求Fibonacci数列(非矩阵法) 2012-09-03 10:26
不过实测的结果:是matrix版(O(logn))最快,去递归的(bottom-up)版(O(n))次之,然后是这个版本(O(logn)),可能是乘法的缘故  回复  更多评论
  

# re: 《编程之美》读书笔记08:2.9 Fibonacci序列 —— O(log n)求Fibonacci数列(非矩阵法) 2013-04-26 23:21 card323
我写了一篇文章 ggboom.com/2013/04/26/ologn%E6%B1%82%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91fibonacci%E6%95%B0%E5%88%97/
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# re: 《编程之美》读书笔记08:2.9 Fibonacci序列 —— O(log n)求Fibonacci数列(非矩阵法) 2013-04-26 23:23 card323
@黄
试试我的算法:
ggboom.com/2013/04/26/ologn%E6%B1%82%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91fibonacci%E6%95%B0%E5%88%97/  回复  更多评论
  


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