雁过无痕

《编程之美》读书笔记：1.3 一摞烙饼的排序

问题：

    星期五的晚上，一帮同事在希格玛大厦附近的“硬盘酒吧”多喝了几杯。程序员多喝了几杯之后谈什么呢？自然是算法问题。有个同事说：“我以前在餐馆打工，顾客经常点非常多的烙饼。店里的饼大小不一，我习惯在到达顾客饭桌前，把一摞饼按照大小次序摆好——小的在上面，大的在下面。由于我一只手托着盘子，只好用另一只手，一次抓住最上面的几块饼，把它们上下颠倒个个儿，反复几次之后，这摞烙饼就排好序了。我后来想，这实际上是个有趣的排序问题：假设有n块大小不一的烙饼，那最少要翻几次，才能达到最后大小有序的结果呢？”

你能否写出一个程序，对于n块大小不一的烙饼，输出最优化的翻饼过程呢？

n个烙饼经过翻转后的所有状态可组成一棵树。寻找翻转最少次数，相当于在树中搜索层次最低的某个节点。

由于每层的节点数呈几何数量级增长，在n较大时，使用广度优先遍历树，可能没有足够的内存来保存中间结果（考虑到每层的两个节点，可以通过旋转，移位等操作互相转换，也许每层的状态可以用一个函数来生成，这时可以采用广度优先方法。），因而采用深度优先。但这棵树是无限深的，必须限定搜索的深度（即最少翻转次数的上限值），当深度达到该值时不再继续往下搜索。最少翻转次数，必然小等于任何一种翻转方案所需的翻转次数，因而只要构造出一种方案，取其翻转次数即可做为其初始值。最简单的翻转方案就是：对最大的未就位的烙饼，将其翻转，再找到最终结果中其所在的位置，翻转一次使其就位。因此，对编号在n-1和2之间的烙饼，最多翻转了2*(n-2)次，剩下0和1号烙饼最多翻转1次，因而最少翻转次数的上限值是：2*(n-2)+1=2*n-3（从网上可搜索到对该上限值最新研究结果：上限值为18/11*n），当然，最好还是直接计算出采用这种方案的翻转次数做为初始值。

减少遍历次数：

1 减小“最少翻转次数上限值”的初始值，采用前面提到的翻转方案，取其翻转次数为初始值。对书中的例子{3,2,1,6,5,4,9,8,7,0}，初始值可以取10。

2 避免出现已处理过的状态一定会减少遍历吗？答案是否定的，深度优先遍历，必须遍历完一个子树，才能遍历下一个子树，如果一个解在某层比较靠后位置，若不允许处理已出现过的状态时，可能要经过很多次搜索，才能找到这个解，但允许处理已出现过的状态时，可能会很快找到这个解，并减小“最少翻转次数的上限值”，使更多的分支能被剪掉，从而减少遍历。比如说，两个子树A、B，搜索子树A，100次后可得到一个解对应翻转次数20，搜索子树B，20次后可得到翻转次数为10的解，不允许处理已出现过的状态，就会花100次遍历完子树A后，才开始遍历B，但允许翻转回上一次状态，搜索会在A、B间交叉进行，就可能只要70次找到子树B的那个解（翻转次数为10+2=12），此时，翻转次数比较少，能减少更多的搜索，搜索次数明显减少。以书中的{3,2,1,6,5,4,9,8,7,0}为例，按程序（1.3_pancake.cpp），不允许翻转回上次状态时需搜索195次，而允许翻转回上次状态时只要搜索116次。

3 如果最后的几个烙饼已经就位，只须考虑前面的几个烙饼。对状态(0,1,3,4,2,5,6)，编号为5和6的烙饼已经就位，只须考虑前5个烙饼，即状态(0,1,3,4,2)。如果一个最优解，从某次翻转开始移动了一个已经就位的烙饼，且该烙饼后的所有烙饼都已经就位，那么，对这个解法，从这次翻转开始得到的一系列状态，从中移除这个烙饼，得到新的状态，可以设计出一个新的解法对应这系列新的状态。该解法所用的翻转次数不会比原来的多。

4 估计每个状态还需要翻转的最少次数（即下限值），加上当前的深度，如果大等于上限值，就无需继续遍历。这个下限值可以这样确定：从最后一个位置开始，往前找到第一个与最终结果位置不同的烙饼编号（也就是说排除最后几个已经就位的烙饼），从该位置到第一个位置，计算相邻的烙饼的编号不连续的次数，再加上1。每次翻转最多只能使不连续的次数减少1，但很多人会忽略掉这个情况：最大的烙饼没有就位时，必然需要一次翻转使其就位，而这次翻转却不改变不连续次数。（可以在最后面增加一个更大的烙饼，使这次翻转可以改变不连续数。）如：对状态(0,1,3,4,2,5,6)等同于状态(0,1,3,4,2)，由于1、3和4、2不连续，因而下限值为2+1=3。下限值也可以这样确定：在最后面增加一个已经已就位的最大的烙饼，然后再计算不连续数。如：(0,1,3,4,2)，可以看作(0,1,3,4,2,5)，1和3 、4和2 、2和5这三个不连续，下限值为3。

5多数情况下，翻转次数的上限值越大，搜索次数就越多。可以采用贪心算法，通过调整每次所有可能翻转的优先顺序，尽快找到一个解，从而减少搜索次数。比如，优先搜索使“下限值”减少的翻转，其次是使“下限值”不变的翻转，最后才搜索使“下限值”增加的翻转。对“下限值”不变的翻转，还可以根据其下次的翻转对“下限值”的影响，再重新排序。由于进行了优先排序，翻转回上一次状态能减少搜索次数的可能性得到进一步降低。

6 其它剪枝方法：

假设第m次翻转时，“上限值”为min_swap。

如果在某个位置的翻转得到一个解（即翻转次数为m），则其它位置可以不搜索（因为在其它位置的翻转，能得到的最少翻转次数必然大等m）。

如果在某个位置的翻转后，“下限值”为k，并且 k+m>=min_swap，则对所有的使新“下限值”kk大等于k的翻转，都有 kk+m>=min_swap，因而都可以不搜索。

另外，由于翻转时，只有两个位置的改变才对“下限值”有影响，因而可以记录每个状态的“下限值”，翻转时，通过几次比较，就可以确定新状态的“下限值”。（判断不连续次数时，最好写成 -1<=x && x<=1， 而不是x==1 || x==-1。对于 int x; a<=x && x<=b，编译器可以将其优化为 unsigned (x-a) <= b-a。）

结果：

对书上的例子{3,2,1,6,5,4,9,8,7,0}：

（这个例子比较特殊，代码1.3_pancake_2.cpp（与1.3_pancake_1.cpp的最主要区别在于，增加了对翻转优先顺序的判断，代码下载），在不允许翻转回上次状态、取min_swap的初始值为2*10-2=18时，调用搜索函数29次，翻转函数56次）。

　　另外，对1.3_pancake_2.cpp的第148行做个简单的改动：
        for (int pos=1, last_swap=cake_swap[step++]; pos<size; ++pos){  
       改为：
        for (int pos=size-1, last_swap=cake_swap[step++]; pos>0; ++pos){

        只是改变了搜索顺序，但却极大提升了搜索效率。对书上的例子，搜索次数进一步降到11次（实际上前六次搜索找到了一个解，后而的几次用于判断这个解是是最优解）。遍历所有可能的排列求第1个……第10个烙饼数所用的总时间，也由原来的38秒降到21秒。

1.3_pancake_f
  1//1.3_pancake_f.cpp   by  flyingheart ＃ qq.com
  2#include<iostream>
  3#include<fstream>
  4#include<vector>
  5#include<algorithm>
  6#include<ctime>
  7using namespace std;
  8
  9class Pancake{
 10 public:
 11  Pancake() {}
 12  void print() const;
 13  void process();               //显示最优解的翻转过程
 14  int run(const int cake_arr[], int size, bool show=true);
 15  void calc_range(int na, int nb);
 16
 17 private: 
 18  Pancake(const Pancake&);
 19  Pancake& operator=(const Pancake&);
 20  inline bool init(const int cake_arr[], int& size);
 21  void search_cake(int size, int step, int least_swap_old);
 22  void reverse_cake(int index) { //翻转0到index间的烙饼
 23    ++count_reverse; 
 24    std::reverse(&cake[0], &cake[index + 1]);
 25  }
 26  
 27  bool next_search_cake(int pos, int size, int step, int least_swap)
 28  {
 29    if (least_swap + step >= get_min_swap()) return true;
 30    cake_swap[step] = pos;
 31    reverse_cake(pos);
 32    search_cake(size,step,least_swap);
 33    reverse_cake(pos);
 34    return false;
 35  }
 36  
 37  int get_min_swap() const { return result.size();}
 38  
 39  void output(int i, const std::string& sep, int width) const {
 40    cout.width(width);
 41    cout << i << sep;
 42  }
 43  
 44  void output(const std::string& sep, int width) const {
 45    cout.width(width);
 46    cout << sep;
 47  }
 48  
 49  vector<int> cake_old;        //要处理的原烙饼数组
 50  vector<int> cake;            //当前各个烙饼的状态
 51  vector<int> result;          //最优解中，每次翻转的烙饼位置
 52  vector<int> cake_swap;       //每次翻转的烙饼位置
 53  vector<int> cake_order;      //第step+1次翻转时，翻转位置的优先顺序
 54  int min_swap_init;           //最优解的翻转次数初始值
 55  int count_search;            //search_cake被调用次数
 56  int count_reverse;           //reverse_cake被调用次数
 57};
 58
 59
 60void Pancake::print() const
 61{
 62  int min_swap = get_min_swap();
 63  if (min_swap == 0) return; 
 64  cout << "minimal_swap initial: " << min_swap_init 
 65       << "  final: "<< min_swap 
 66       << "\nsearch/reverse function was called: " << count_search
 67       << "/" << count_reverse << " times\nsolution: ";
 68  for (int i = 0; i < min_swap; ++i) cout << result[i] << " ";
 69  cout<< "\n\n";
 70}
 71
 72void Pancake::process()
 73{
 74  int min_swap = get_min_swap(); 
 75  if (min_swap == 0) return;
 76  cake.assign(cake_old.begin(), cake_old.end());
 77  int cake_size = cake_old.size();
 78  const int width = 3, width2 = 2 * width + 3;
 79  output("No.", width2);
 80  for (int j = 0; j < cake_size; ++j) output(j," ",width);   
 81  cout << "\n";     
 82  output("old:", width2);    
 83  
 84  for (int j = 0; j < cake_size; ++j) output(cake[j]," ",width);  
 85  cout << "\n";        
 86  
 87  for (int i = 0; i < min_swap; ++i){
 88    reverse_cake(result[i]);
 89    output(i + 1," ",width);  
 90    output(result[i],": ",width);  
 91    for (int j = 0; j < cake_size; ++j)  output(cake[j]," ",width);  
 92    cout << "\n";
 93  }
 94  cout << "\n\n";
 95}
 96
 97bool Pancake::init(const int cake_arr[], int& size)
 98{
 99  result.clear();
100  if (cake_arr == NULL) return false;
101  cake_swap.resize(size * 2);
102  cake_order.resize(size * size * 2);
103  count_search = 0;
104  count_reverse = 0;
105  cake_old.assign(cake_arr,cake_arr + size);
106  //去除末尾已就位的烙饼，修正烙饼数组大小。
107  while (size > 1 && size - 1 == cake_arr[size - 1]) --size; 
108  if (size <= 1) return false;
109  
110  cake.assign(cake_arr,cake_arr + size);
111  for (int j = size - 1; ;) {           //计算一个解作为min_swap初始值。
112    while(j > 0 && j == cake[j]) --j;
113    if (j <= 0) break;
114    int i = j;
115    while (i >= 0 && cake[i] != j) --i;
116    if (i != 0) {
117      reverse_cake(i);
118      result.push_back(i);
119    }
120    reverse_cake(j);
121    result.push_back(j);
122    --j;
123  }
124  cake.assign(cake_arr,cake_arr + size); //恢复原来的数组
125  cake.push_back(size);                 //多放一个烙饼，避免后面的边界判断
126  cake_swap[0] = 0;                     //假设第0步翻转的烙饼编号为0
127  min_swap_init= get_min_swap();
128  return true;
129}
130
131int Pancake::run(const int cake_arr[], int size, bool show)
132{
133  if (! init(cake_arr, size)) return 0;
134  int least_swap = 0;
135  //size = cake.size() - 1;
136  for (int i = 0; i < size; ++i)
137    if (cake[i] - cake[i + 1] + 1u > 2) ++least_swap;  
138  if (get_min_swap() != least_swap) search_cake(size, 0, least_swap);
139  if (show) print();
140  return get_min_swap();
141}
142
143void Pancake::search_cake(int size, int step, int least_swap_old)
144{
145  ++count_search;
146  while (size > 1 && size - 1 == (int)cake[size - 1]) --size; //去除末尾已就位的烙饼
147  int *first = &cake_order[step * cake.size()];
148  int *last = first + size;
149  int *low = first, *high = first + size;
150
151  for (int pos = size - 1, last_swap = cake_swap[step++]; pos > 0; --pos){
152    if (pos == last_swap) continue;
153    int least_swap = least_swap_old ;
154    if (cake[pos] - cake[pos + 1] + 1u <= 2) ++least_swap;
155    if (cake[0] - cake[pos + 1] + 1u <= 2) --least_swap;
156
157    if (least_swap + step >= get_min_swap()) continue;
158    if (least_swap == 0) {
159      cake_swap[step] = pos;
160      result.assign(&cake_swap[1], &cake_swap[step + 1]);
161      return;
162    }
163    
164    //根据least_swap值大小，分别保存pos值，并先处理使least_swap_old减小1的翻转
165    if (least_swap == least_swap_old) *low++ =pos;
166    else if (least_swap > least_swap_old) *--high =pos;
167    else next_search_cake(pos, size, step, least_swap);   
168  }
169
170  //再处理使least_swap_old不变的翻转
171  for(int *p = first; p < low; p++)
172    if (next_search_cake(*p, size, step, least_swap_old)) return;
173    
174  //最后处理使least_swap_old增加1的翻转
175  for(int *p = high; p < last; p++)
176    if (next_search_cake(*p, size, step, least_swap_old + 1)) return;
177}
178
179void Pancake::calc_range(int na, int nb)
180{
181  if (na > nb || na <= 0) return;
182  clock_t ta = clock();
183  static std::vector<int> arr;
184  arr.resize(nb);
185  unsigned long long total_search = 0;
186  unsigned long long total_reverse = 0;
187  for (int j = na; j <= nb; ++j) {
188    for (int i = 0; i < j; ++i) arr[i] = i;
189    int max = 0;
190    unsigned long long count_s = 0;
191    unsigned long long count_r = 0;
192    clock_t tb = clock();
193    while (std::next_permutation(&arr[0], &arr[j])) {    
194      int tmp = run(&arr[0],j,0);
195      if (tmp > max) max = tmp;
196      count_s += count_search;
197      count_r += count_reverse;
198    }
199    total_search +=  count_s;
200    total_reverse += count_r;
201    output(j, " ",2);
202    output(max,"     time: ",3);
203    output(clock() - tb,"  ms  ",8);
204    cout << " search/reverse: " << count_s << "/" << count_r << "\n";
205  }
206  cout << "  total  search/reverse: " << total_search
207       << "/" << total_reverse << "\n"
208       << "time :  " << clock() - ta << "  ms\n";
209}
210
211int main()
212{
213  int aa[10]={ 3,2,1,6,5,4,9,8,7,0};
214  //int ab[10]={ 4,8,3,1,5,2,9,6,7,0};
215 // int ac[]={1,0, 4, 3, 2};
216  Pancake cake;
217  cake.run(aa,10);
218  cake.process();
219  //cake.run(ab,10);
220  //cake.process(); 
221  //cake.run(ac,sizeof(ac)/sizeof(ac[0]));
222  //cake.process();  
223  cake.calc_range(1,9);
224}
225
226

补充：

在网上下了《编程之美》“第6刷”的源代码，结果在编译时存在以下问题：

1 Assert 应该是 assert

2 m_arrSwap 未被定义，应该改为m_SwapArray

3 Init函数两个for循环，后一个没定义变量i，应该将i 改为 int i

另外，每运行一次Run函数，就会调用Init函数，就会申请新的内存，但却没有释放原来的内存，会造成内存泄漏。

书上程序的低效主要是由于进行剪枝判断时，没有考虑好边界条件，可进行如下修改：

1  if(step + nEstimate > m_nMaxSwap)  > 改为 >=。

2  判断下界时，如果最大的烙饼不在最后一个位置，则要多翻转一次，因而在LowerBound函数return ret; 前插入一行：

if (pCakeArray[nCakeCnt-1] != nCakeCnt-1) ret++; 。

3       n个烙饼，翻转最大的n-2烙饼最多需要2*(n-2)次，剩下的2个最多1次，因而上限值为2*n-3，因此，m_nMaxSwap初始值可以取2*n-3+1=2*n-2，这样每步与m_nMaxSwap的判断就可以取大等于号。

4        采用书上提到的确定“上限值”的方法，直接构建一个初始解，取其翻转次数为m_nMaxSwap的初始值。

1和2任改一处，都能使搜索次数从172126降到两万多，两处都改，搜索次数降到3475。若再改动第3处，搜索次数降到2989；若采用4的方法（此时初始值为10），搜索次数可降到1045。