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闲扯原码，补码和反码

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人类习惯使用十进制数进行数值计算，而计算机则采用二进制，所以为了让计算机帮助人类计算，首先要把十进制数转换为二进制数。本文以最简单的8位定点整数为例，分析了计算机存储和计算数值的方法。

地球人都知道，整数有正负之分，但计算机却只认得“0”“1”，不知道符号“+”和“-”，所以有必要用“0”“1”来表示“+”“-”。人们规定用“0”表示“+”，用“1”表示“-”。

       这样，我们就可以表示出计算机能识别的整数了，我们把符号数值化后的二进制数称为机器数，相对应的，符号没有数值化（即仍用“+”“-”号表示）的二进制数称为真值。计算机只能处理机器数，不认识真值，真值是给人类看的。

       机器数有三种编码形式，分别称为：原码，补码和反码。为什么要搞得这么复杂，那些计算机科学家真的是吃饱了没事干吗？且听我慢慢道来：

       其实篇头已经介绍了机器码的一种形式——原码，它的特点是有效数值部分照抄真值，符号“+”“-”分别用“0”“1”表示。

例如，十进制数+6，它的真值是+000 0110（注意：8位二进制数最高位是符号位，所以其真值只有7位），对应的原码就是0000 0110。

又如，十进制数-6，它的真值是-000 0110，对应的原码就是1000 0110。

原码表示法比较直观，它的数值部分就是该数的绝对值，而且与真值的转换十分方便。但是它的加减法运算较复杂，当两数相加时，机器要首先判断两数的符号是否相同，如果相同则两数相加，若符号不同，则两数相减。在做减法前，还要判断两数绝对值的大小，然后用大数减去小数，最后再确定差的符号，换言之，用这样一种直接的形式进行加运算时，负数的符号位不能与其数值部分一道参加运算，而必须利用单独的线路确定和的符号位。要实现这些操作，电路就很复杂，这显然是不经济实用的。为了减少设备，解决机器内负数的符号位参加运算的问题，总是将减法运算变成加法运算，也就引进了反码和补码这两种机器数。

那如何将减法运算转化为加法运算呢？

首先引入 “模”的概念，“模”是指一个计量系统的计数范围。以我们每天用来算时间的时钟为例，时钟的计量范围是0～11，所以它的模就等于12。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范围，即存在一个“模”。 机器字长为n位的计算机的计量范围是0～2^n-1，模=2^n。

  “模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数。例如，虽然时钟的模=12，但是在时钟的指针并不能真正指向“12点”，“12点”的位置和“0点”是重合的！用C语言表示就是12%12 == 0。

任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。这是为什么呢？

仍然以时钟为例，假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：

一种是倒拨4小时，即：10-4=6

另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6

在以12为模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。

对“模”12而言，8和4互为补数。插一句，所谓“补数”，实际上是模拟了数学中“补角”的概念，如果两个角的度数之和为180度，我们就称这两个角互为补角。同样的，如果在某个计量系统中，两个数之和刚好等于模，则它们互为“补数”，例如，在以12为模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都互为补数。

对于计算机，其概念和方法完全一样。机器字长为n位的计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再加1称为100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丢失，又回了00000000，所以8位二进制系统的模为2^8。 在这样的系统中减法问题可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就行了。

把补数用到计算机对数据的处理上，就是补码。补码也是一种机器码，它克服了原码的一些缺陷，一方面使符号位能与有效值部分一起参加运算，从而简化运算规则；另一方面使减法运算转换为加法运算，进一步简化计算机中运算器的线路设计。现代的计算机都是用补码的形式来存储数据和进行算术运算的。

那补码是如何编码的，即我们如何将一个整数的真值转换为一个8位补码呢？

回到最初的例子，十进制数+6。我们已经知道了它真值是+000 0110，原码是0000 0110。并且用自然语言介绍了如何实现真值和原码的转换。但是，一个众所周知的事实是：“自然语言”不如“数学语言”严谨！我们希望能够用数学表达式来表示真值和原码的关系，这就是：

设机器字长为N位，真值为X，则：

[X]原  = X，         0 <= X < 2^(n-1)

[X]原  = 2^(n-1) - X， -2^(n-1) < X <= 0   

如何来理解这个公式呢？

仍以十进制数+6和-6为例：

[+6]原  = 6，把6转换为8位二进制数，就得到原码0000 0110。（本文的最后将会提供一个把十进制数转换为机器码的C++算法实现）。

[-6]原  = 2^(8-1) – (-6) = 256 + 6 = 262，，把262转换为8位二进制数，就得到原码1000 0110。即最高位本来是0，加了一个2^(8-1)后，最高位就变成1了。

同样我们给出补码的数学表达式：

[X]补  = X，         0 <= X < 2^(n-1)

[X]补  = 2^n + X，   -2^(n-1) <= X < 0

和原码一样，正数的补码就等于真值，那如何理解负数的补码呢？

例如，[-6]补  = 2^8 + (-6) = 512 – 6 = 506。

且慢，这个506怎么这么熟悉！它不正是以2^8为模的6的“补数”吗？原来负数的补码就等于它的绝对值的补数啊！

把506转换为8位二进制数，就得到-6的补码1111 1010。

得到某个数的补码后，我们就可以把减法运算转化为加法运算了。

补码加法的运算法则为：[X +Y]补 = [X] 补 + [Y] 补

例1：X =+011 0011，Y=+010 1001，求[X+Y] 补

解：[X +Y]补 = [X] 补 + [Y] 补 = 0011 0011 + 0010 1001 = 0101 1100

例2：X =+011 0011，Y=-010 1001，求[X+Y] 补

解：[X +Y]补 = [X] 补 + [Y] 补 = 0011 0011 + 1101 0111 = 0000 1010 （进位溢出）

注：因为计算机中运算器的位长是固定的（本例中只有8位），上述运算中产生的最高位进位将丢掉，所以结果不是1 0000 1010，而是0000 1010。

补码减法公式：[X - Y]补 = [X] 补 -  [Y] 补= [X] 补 + [-Y] 补

其中：[-Y]补称为负补,求负补的办法是：对补码的每一位(包括符合位)求反，且未位加1。

例3：X =+011 0011，Y=+010 1001，求[X-Y] 补

解：[X - Y]补 =  [X] 补 + [-Y] 补 = 0011 0011 + 1101 0111 = 0000 1010 （进位溢出）

例2：X =+011 0011，Y=-010 1001，求[X-Y] 补

解：[X - Y]补 =  [X] 补 + [-Y] 补 = 0011 0011 + 0010 1001 = 0101 1100

根据补码加减运算得到的结果仍然是补码，若要将补码转换成原码，只要对其再求一次补码就行了。

再来说说反码。当初引入反码是为了解决原码运算所遇到的困难，但由于反码自身也存在一定的缺陷，加之补码在机器运算中的优越表现，完全掩盖了反码的光芒，以至于现在人们之所以提到反码，只是因为在用笔算将真值转换为补码的时候，可以快一些——先将原码转换为反码，然后反码加1，就得到了补码——但是对于计算机来说，反码这个中介完全是没有必要的。

反码和原码的关系很紧密，反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。

同样我们给出反码的数学表达式：

[X]反  = X，         0 <= X < 2^(n-1)

[X]反  = 2^n – 1 + X，   -2^(n-1) < X <= 0

 从数学表达式中我们可以发现，整数的三种机器码都是相同的，而负数的则不同。负数的反码是对原码按位求反（符合位除外），而补码则等于反码加1。这样有了反码这个中介，我们即使是用笔算也能够很快地将原码转换为补码了。例如：

[+6]反  = 6， [-6]反  = 2^(8-1) – 1 + (-6) = 255 + 6 = 261，，把261转换为8位二进制数，就得到反码1111 1001。

由于-6的原码为1000 0110，我们稍作观察，就可找到反码和原码的关系。

再将反码加1，就得到-6的补码1111 1010。

现在明白了吧？

附录：把十进制数转换为机器码的C++程序代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int MAX = 32;

void Binary(char b[], int x); //将x转换为二进制数

void TrueForm(char b[], int x); //获取原码

void RadixMinus(char b[], int x); //获取反码

void Complement(char b[], int x); //获取补码

void TruthValue(char b[], int x);//获取真值

int main()

{

      int x = 1;

      char b[MAX+1]={0};

      cout << "十进制数：" << x << endl;

      TruthValue(b, x);//获取真值

      cout << "真值：" << b << endl;

      TrueForm(b, x); //获取原码

      cout << "原码：" << b << endl;

      RadixMinus(b, x);//获取反码 

      cout << "反码：" << b << endl;

      Complement(b, x);//获取补码

    cout << "补码：" << b << endl;

    cout << "十进制数：" << -x << endl;

      TruthValue(b, -x);//获取真值

      cout << "真值：" << b << endl;

      TrueForm(b, -x); //获取原码

      cout << "原码：" << b << endl;

      RadixMinus(b, -x);//获取反码 

      cout << "反码：" << b << endl;

      Complement(b, -x);//获取补码

    cout << "补码：" << b << endl;

    system("pause");

    return 0;

}

void Binary(char b[], int x)//将x转换为二进制数

{

    for (int i=MAX-1; i>=0; i--)

    {

           b[i] = (x & 1) + '0';

           x >>= 1;

      }

      b[MAX] = '\0';

}

void TrueForm(char b[], int x) //获取原码：根据数学表达式求得

{

    if (x >= 0)

          Binary(b, x);

      else

          Binary(b, (1<<(MAX-1)) - x);

}

void RadixMinus(char b[], int x) //获取反码：正数的反码=补码；负数的反码=补码-1

{

    if (x >= 0)

          Binary(b, x);

      else

          Binary(b, x - 1);

}

void Complement(char b[], int x) //获取补：数据在计算机中以补码形式存储，直接转换即可

{

    Binary(b, x);

}

void TruthValue(char b[], int x)//获取真值：根据原码获得真值

{

    TrueForm(b, x);

      b[0] = (b[0] == '0') ? '+' : '-';  

}

参考文献：

（1）Boater的博客：《反码和补码技术是怎样被提出的？》

http://blog.tianya.cn/blogger/post_show.asp?BlogID=227218&PostID=7046448

（2）北半球的孤独发帖：《关于机器数的几点注记》

http://forum.noi.cn/thread-29319-1-1.html

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