在泛函分析中，卷积、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与经过翻转和平移的g 的重叠部分的累积。
如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。

基本内涵

简单介绍
卷积的定义

卷积的定义

卷积是分析数学中一种重要的运算。
设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分（如右图）：
可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。
容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。特别当g为具有紧致集的光滑函数，f为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。

定义

卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。
卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果
，
其中星号*表示卷积。当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。
如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计算变为
，
其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量，星号*表示卷积。
参考《数字信号处理》杨毅明著，p.55、p.188、p.264，机械工业出版社2012年发行。
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“卷积”是什么？

看到科学网上几篇关于卷积的博文，也颇为受益。的确，卷积是一个极为重要的运算，其定义事实上是自然的。但由于我们教材中过于拘泥于形式，从而使得学生感觉这是个天上掉下来的东西。我第一次接触卷积之时便有此感觉。不过，在后期逐渐接触之中，形成了一些自己的浅见，并在课堂之上经常提起。仅记于此，以为交流之便宜。

首先，卷积的定义是如何而来？事实上，卷积命名让人有些疏离之感。但是，倘若我们将其称之为“加权平均积”，那便容易接受的多。的确，卷积的离散形式便是人人会用的加权平均，而连续形式则可考虑为对连续函数的加权平均。假如我们观测或计算出一组数据。但数据由于受噪音的污染并不光滑，我们希望对其进行人工处理。那么，最简单的方法就是加权平均。例如，我们想对数据x_j进行修正，可加权平均为
w/2*x_{j-1}+(1-w)x_j+w/2 *x_{j+1}。
此处，w为选择的权重，如果可选择0.1等等。
这里实际上是用两边的数据对中间的数据进行了一点修正。上面的公式，实际上是两个序列在做离散卷积，其中一个序列是
......0,0,w/2,1-w,w/2,0,0......，
另一个序列是
.....,x_1,x_2,x_3,......
将上述简单的思想推而广之，便是一般的卷积。若把序列换为函数，则就是我们通常卷积的定义。这时候，你可以考虑为一个函数对另外一个函数做加权平均。不过，一个扮演的是权重角色，另一个则扮演被平均的角色。

那么，卷积为什么重要？犹如乘积无处不在，卷积也是无处不在的。究其原因就便是：卷积是频域上的乘积！
但凡对Fourier变换有些了解，便知道一个函数可从两个方面来看：时域和频域。Fourier变换宛如西游记中的照妖镜，任何函数在其面前都会展现出另外一面。所以，很多时候我们如果对一个函数看不清楚，那就在照妖镜里看一下，做一下Fourier变换，便会豁然开朗。而函数的性质，经过Fourier变换之后，也会有与之相对应的性质。例如，函数的光滑性经过Fourier变换后，便是其在无穷远处趋向于0的速度。那么，函数的乘积经过Fourier变换后，便是卷积！因此，卷积实际上是乘积的另外一面，不过这一面需要借助照妖镜才可以看到，所以让我们感觉有些陌生。卷积，Fourier变换与乘积是紧密联系在一起的。因此：
                     有卷积的地方，便会有Fourier变换；有Fourier变换的地方，便会有卷积！
想想Fourier变换的应用范围，便不难理解卷积的重要。

说了半天，我们的学生，甚至于数学专业的大学毕业生，为什么会对卷积感觉莫测与神奇呢？我在以前的博文里面提过，我们大学的数学教育似乎比较轻视Fourier变换。事实上，我们承袭了中学数学教育的传统，喜欢在技巧性强的地方大做文章。高等数学里面，两个地方学生花费时间甚多：一是中值定理，一是不定积分。因为这两处最容易出现技巧性强的题目。但是，对于Fourier变换这种带有新思想的地方却着力不足。就像我前面所说：有卷积的地方，便会有Fourier变换。也就不难理解，学生对卷积陌生的根本原因是教学方面对Fourier变换的轻视。

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