分形论的创立,就象许多其它伟大学科的创立一样,经过重多先辈长期不懈的艰苦奋斗和努力,暨量的积累之后.再经一个"站在巨人肩上"的划时代人物创造性思维的革命化运作,使该学科发生了从量变到质变的根本性的变革和飞跃--科学革命的分形元.分形论的创始者:IBM公司的研究员暨哈佛大学的曼德勃罗特(Mandelbrot)教授就是这样.先前他并不是"专家","权威",且似乎也并无特长的专业,是"业余的杂家".正如他自己所表白的:这多年来所从事的许多工作(或专业),其专业的集合的交集肯定为"零(空集)".就是这样的他--职业集合的交集为空集的曼德勃罗特,经过30多年孜孜不倦的努力求索,于1975年,成功地将困扰数学,物理学界百年之久的复杂,不规则,自然界广泛存在的,在欧氏几何和线性科学中被认为"病态"不可微的真实事体,做了科学(数理)化的阐释,使它与混沌成为本世纪,继相对论和量子力学之后最伟大的三次科学革命之一.它是70年代三大新科学整体观(耗散结构,混沌,分形)的伟大发现之一.它是整体与局部,有序与无序,确定性与随机性,决定论与随机论(非决定论),有限与无限,正常与病态,常规与反常,复杂与简单等的新的统一.它是新的世界观,认识论和方法论,是科技界的新语言,新思维,新思想,新方法,新工具.成为分形论的专家,权威,鼻祖.

    科学界西式观点认为,分形论的建立和发展分三个阶段(历史):1875-1925;1926-1975;1975-今.而从分形论的奠基石和本质特征:自相似性看,可追溯到古老的宗教和中医<<黄帝内经>>等典籍.东方哲学的"阴阳集","五行集"等就是最古老,最简单的"文字"分形集.

    分形论等现代复杂性科学的系统化学说,都是科学化(数理)的整体观.它们的一个共同特点就是都用数理的语言来描述.而一个学科,一门学说(中医,针灸经络等)欲成为科学,欲被世界认可,公认,其数理语言的表述是把绝对的标尺,必不可少,搞不了特殊化.中医,经络也难例外.这也是中医现代化奋斗的方向之一.

    中医的整体观是准科学的整体观,是文字,非数理,玄神,经验,思辨,哲学化的学说.虽然,其内涵丰富,深广,久远,高哲预智.却经常被充当成现代新科技,及革命化的科学新学科,新思想,新思潮的考古溯源的古董,注角,注释.且总是被作为马后炮和做史者,成为事后褚葛亮,而少成现代及未来科学革命的领头羊和开拓者.悲哀致极.受所表述语言的限制,传统中医,针灸经络等至今难入国际正统科技之殿堂的根本原因,也正在于此:缺少现代科技和数理语言的阐释--欠佳的传统分形元.中医现代化的关键,就是中医理论诠释的科学化,数理化.而现代数学,物理等定量化的集合论,模糊论,分形论等为中医的定量化,数理化提供了便利条件.借鉴祖先的文化遗产,改变传统生成元,争做现代的"事前褚葛亮",为祖国医学的发扬光大,多创新,勇开拓.近来已经开始有了一些好的苗头和尝试,如整体,统一,数理的气集合,阴阳模糊变集,分形经络等,对中医三大古迷:气,阴阳,经络等难题及其本质的认识都有了新的变革与长足进步和突破.而中医阴阳分形集等的提出,又是中医科学化,现代化,数理化等的新探索,新尝试.

    分形(或碎形)理论或"分形"一词是由美国IBM公司研究中心物理部研究员暨哈佛大学数学系曼德勃罗特(Benoit B.Mandelbrot)教授在1975年首次提出的.其原义是"不规则的,分数的,支离破碎的".其研究对象为自然界和社会活动中广泛存在的零碎而复杂的无序(不规则),具有自相似性,自仿射性的系统.是研究无序混乱,不规则不稳定,非平衡非线性,随机的复杂现象及系统,即研究自然界中非线性过程的内在随机性所具有的特殊规律性的科学.是揭示隐藏在这些复杂现象背后的规律,及局部与整体间本质联系,精细结构,从有限认识无限的方法论.

    分形论是70年代科学上的三大发现(耗散结构,混沌和分形论)之一,他与混沌可以看成是继相对论和量子力学之后的本世纪物理学的第三次革命.他揭示了非线性系统中有序与无序的统一,确定性与随机性的统一.分形论已成为一门重要的新学科,已被广泛应用到自然科学和社会科学的几乎所有领域,正成为当今国际上许多学科的前沿研究课题之一.曼德勃罗特因此而获得了许多荣誉和奖励.

 

一. 分形论的创立

 (一).科学研究大环境的变化

   1. 从简单到复杂的转向:"复杂与简单,简单与复杂的统一"

    以前西方科学的研究方法是解析,分析,分解,简化,线性,确定性,决定性的科学,即将自然界中广泛存在的复杂现象,经简单化处理,即理想化后来发现和揭示其内在规律性(线性)的.他们研究自然实际是"从复杂到简单"的.传统西方科学认为世界"简单系统行为简单",且它们的行为是稳定的和可预言的;而"复杂行为意味着复杂的原因",眼见是不稳定,不可预言或是失控的复杂系统,必定或者由许多独立的组元统治着,或者受到外界的随机影响;"不同系统的行为也不同",象这样的科学家们,认定自己学科里的各种组元是不同的,也就想当然地认为由几十亿这样的组元构成的复杂系统必定是不同的,缺少共性.(这标题有两层意思,还有复杂中酝含着简单).

    然而,现在一切都变了.在这20年间,物理学家,数学家,生物学家,天文学家和经济学家们创立了另外一套思想.简单系统产生出复杂行为,"简单性孕育复杂性".复杂系统产生出简单行为.最重要的是有关复杂性的定律具有普适性,而与构成系统的组元的细节完全无关.

    在经过了几个世纪的研究探索和发展之后,科学家们逐渐感觉到了这种简化方法的不足.渐渐转向,即热衷于现代的对复杂性现象的探索.数理上的非欧几何,随机性数学,系统论,信息论,控制论,突变论,协同论,耗散结构,超循环,非线性动力学,混沌,分形理论,全息论等相继出现.无理性丰富了有理性.

    对于大多数实干的科学家----粒子物理学家,或者神经学家,或者甚至数学家(和中医师或杂家),这种变化并没有马上发生作用.他们继续在自己学科的范围内研究问题.但是他们知道有某种叫做混沌的东西.他们知道有些复杂现象已经得到解释,而且知道一些别的现象忽然看来需要新的解释了.科学家们都不能再用传统的"置之不理"的办法来对待出乎意料的涨落或振荡的出现.对于某些人,这是添麻烦.另一方面,他们从实用主义的角度知道,能获得许多利益.他们中的越来越多的人认识到,混沌提供了处理老数据的新鲜途径.越来越多的人感觉到科学的划分成为工作中的障碍.越来越多的人感到与整体分割开来研究各个部分是枉费心机.对他们来说,混沌是科学中约化主义计划的终结.

    不理解;反对;生气;接受.这是科学革命,科学创新及许多新生事物,出生,磨难,发展壮大的艰难历程的真实写照和普适公式.是与科学社会界积极进取相对立的偏见,落后的,阴暗,消极侧面的反映和产物.要能改变这种阻碍式的规律,将是科学革命者或科学创新者的福音.很难,起码现在还不能改变.

    中医本来就是以复杂性的观点来研究复杂现象的,有自己的优势.中医现代化的任务就是将传统中医理论,中医描述的语言"翻译"成现代科学"语言",即力争用"数理的语言"来表述中医的内涵(内核)和理论.即要有从复杂到复杂,从简单到复杂,更需要返回头来从复杂到简单.理论和观念上突破后,就可以在实验上与现代技术接轨.

    2.从线性动力学到非线性动力学:在经典物理中,所研究的现象多是用简化(理想化)的线性可微的数学关系表示的.但是,对多数复杂的现象如看似简单的"单摆",以及复杂的湍流,化学振荡等,用古典的线性的方法难以解决.使物理学家们渐渐地转向非线性领域,非线性动力学,混沌就应运而生.(动态迭代

    3.从平衡态到非平衡态:传统科学从数学,物理学,化学到社会,经济学和生物学多是研究平衡系统的变化和现象.因为它们可以化成简单的模型.但是对于有序的自组织系统,多是远离平衡态的系统.用经典热力学的平衡态的无序是无法解释的.

   4. 从无序(混沌)到有序:"有序与无序的统一"

    科学遗产中,至今尚未得到答案的两个基本问题之一,无序与有序的关系.经典热力学对无序的平衡态已非常成功.而对于自然界的普遍规律的时空有序常感无奈.促成人们对有序现象的热衷.(邓宇等的)"信息-能量-物质"的转换关系成为联系和解答无序与有序关系的桥梁.所有这些(分形,混沌)事物的有序和无序的和谐搭配而产生的形状具体到物理形式上都是动态过程,有序和无序的特定组合是动态过程的典型特征.

   5. 从确定性向随机性转向(从决定论到混沌):"确定性与随机性的统一"

    由确定性的数据得出确定性的结果,这是历代科学家们所追求的,决定论的理想.而偶然性,非决定论的随机性却撼动了理想化的决定论.尤其是,对于非线性动力学,确定性的输入得到的确是不确定的随机的结果,决定论出现了麻烦,需要新的知识和观念来解释.有序扮成随机的混沌是它们的根源.

    6.随机中隐含着规则,有序:"有序扮成随机",偶然中蕴含着必然,随机未必代表无规,无序中孕育着有序,随机中潜含着规则.

   7.稳定与不稳定:

    通常平衡态多是自稳定的.而非平衡态常是较难"自"稳定的,多需要外界调控,来维持这个不平衡系统的稳定.而对于远离平衡态的自组织系统,如耗散结构,生物体等都有强的自稳定性(抗干扰).这是传统解释不了的课题.自组织系统的特点.(附注:

   8. 时间的本质:时间随宇宙的变化而变

    上述许多问题又都与"时间的本质"密切相关.而"时间的本质"还没搞清?时间方向性的有无,可逆与不可逆,循环与单向性?都是难题.关于对"时间本质"认识的混沌性(糊涂性),正表明了对"时间概念"认识的模糊性.即时间概念的关系，次序，层次，逻辑上的种属关系的错位宇宙万物的变化是上位属概念，时间是宇宙万物运动变化次序度量的下位种概念。一般人,尤其是在人们的潜意识中,都把时间看成是同"空间"一样的"自变量?",是"原因?",时间是靠自身的变化而变化的?时间有他自己的变化规律,不受宇宙其它事物变化的干扰和影响.其实不然.通常人们的潜意识里都认为"宇宙万物是随时间的变化而变化的?","宇宙或空间的变化是时间t的函数,U(y,z,崐....)=f(t)?"....就是由于这些误念,才造成了对"时间"观念认识,描述和使用的混乱.其实,"时间的本质":是"时间随宇宙万物的变化而变化",他是"因变量"是宇宙万物变化的"函数",t=U(y,z,...),不是原因,是宇宙空间变化的"结果".这点从时间的解释(或定义):"时间是事件发生的顺序"上等许多方面都能感觉到,有许多证据.实际上,宇宙是由空间和事件的发生的次序(时间)组成的,而宇宙是由空间和时间构成的不是宇宙构成的本源."次序"+空间才是宇宙的实体和本来面目."事件发生的次序"是时间的上位概念,时间是个隐函数或隐变量,时间只是一个下位概念,是事件及其发生次序的延续或产物.标准化后的事件发生的次序----时间,到可以作为衡量宇宙变化变迁的尺子,或度量的尺度,但时间不是事物变化的本源,"变化的次序"才是时间的内在本质和本源.知道了时间是随宇宙的变化而变化的内在本质,关于时间的可逆与不可逆,循环与方向性,时间机器等许多难题就迎刃而解了.可逆与不可逆,循环与非循环本身是宇宙自身变化造成的一些多样性的现象,而时间作为这些变化的函数,也必然会有这些表现.所以,对时间多种表现的解释也就容易了.)

 

 (二).传统科学的困难

    经典数学的研究对象之一是欧几里得几何学的规则光滑的几何构型.他们多是处处连续可导可微的.但是,还存在一些连续但不可微的函数和几何客体-病态形体,使经典数学陷入危机,并被排斥在研究对象之外.这正是分形几何学诞生的土壤.

    在物理学方面,对许多复杂的物理现象(无序生有序,有序变无序),用牛顿(线性)连续动力学法则无法解释,如湍流和相变就是两大难题.有待新学科的出现,以便对此能有所解说.混沌,非线性动力学,分形应酝而生.

    在化学和生物学中,高分子材料的生产,凝胶的生成,化学波,化学震荡的产生,生态种群的变化,生物活性物质的构型与功能(蛋白质,DNA,RNA),组织形态,分布与功能(血管,气管).用传统方法也遇到了许多不解之谜.经络的解剖结构等.

    地学,地质,地震的复杂性及预测的困难.社会,经济领域的多变,混沌,都是分形产生的基础.中医,针灸经络,气功的奥秘,都仰赖分形等复杂性科学去解决.

 

 (三).分形论的建立

    1. 对自然界的思考:

    在慢长的岁月中,对自然界的持续思考,使曼德勃罗特对自然界和现实世界逐步形成一幅图画,开始是不清晰的未聚焦的映像,大约历经30年的不懈奋斗,终于以奇异而真实的面目出现于世,这就是分形论.(开放式的,外插,形象,灵感思维)----曼德勃罗特的开创性工作.

    曼德勃罗特于1924年出生在华沙的一个犹太家庭中,父亲是成衣批发商,母亲是牙科医生.1936年迁往巴黎.他受的教育很不正规,时断时续,他自己说从来没有学过字母表,没有学过5乘5以上的乘法表.他当过车床维修学徒工.然而当他回忆起个人的艰辛历程时,始终记住在学校里与老师成为朋友,其中有几位是因战争而流落的杰出学者.

    巴黎解放后,由于他的天赋好,虽然缺乏准备,却通过了高等师范和高等工业学院的严格考试,笔试和口试竟长达一个月,还包括绘画课.他在临摹维纳斯雕像时表现出潜在的灵巧.数学考试他成功地靠几何直觉掩盖了缺乏训练.不管给出什么解析问题,他几乎总可以用脑海中的形象加以思考.给出一个图形,他可以设法变换它,改变它的对称,使它更为和谐.他的变换往往直接导致问题的解决.在此后的学业和工作中,他沿着自己的路走去.由于学术思想上的尖锐冲突,他离开法国到美国居住.1958年,他接受国际商用机器公司(IBM)沃森研究中心的聘请,开始他的异国科学研究生涯.(一般人所没有的,对图形的特殊的超乎寻常的感悟能力).

    他孤独地搜寻道路.他尝试过语言学,解释词的一种分布规律,在哈佛大学教过工程学,在爱因斯坦医学院教过生理学,等等.他自己说过:"当我听到过去从事过的一连串职业时,常常怀疑自己是否存在,这些集合的交集肯定是空的".他在IBM公司工作的初期,主要是研究商品价格,不久碰上公司非常关心的异国实际问题.工程师们被计算机之间通讯用的电话线中的噪声问题所困扰.工程师们采用加强信号来淹没噪声的方法,但某些自发噪声怎么也无法消除,而且偶尔会抹掉信号,而造成误差.他提出一种描述误差分布的方式,可以对观察到的模式做出语言.

    ¨¨¨在任何一群误差中,无论时间多短,总会存在几段完全无误差的传输.无论是在小时或在秒的尺度上,无误差期间与有误差期间之比总是常数.曼德勃罗特所作的描述,正是以19世界数学家康托尔命名的抽象构造.康托尔集.这种高度抽象的描述对试图控制误差是有意义的.分析表明,不应靠加强信号来淹没噪声,而应采用适当的信号为好.

    然而,在曼德勃罗特正在发展的现实世界中,没有这种二分法的容身之处.他的图象不是把大小变化分开,而是把它们束在一起.他不是在特定的一个或另一个尺度上寻求模式,而是跨越每一个尺度.他毫不清楚怎样画出自己心目中的图象,但他明白这里应当存在某种对称,不是左右或上下对称,而是大小尺度之间的对称.后来曼德勃罗特转向其它感兴趣的事.但他同时有了探索尺度现象的日益增强的决心.这看来成了一种独特的品质,一种深刻的印迹.

    在大量无序的数据里竟然存在着一种出乎意料的有序.曼德勃罗特自问:考虑到所考察的数字的任意性,还会有任何规律存在吗?为什么它对于个人收入和棉价同样适用呢?

    延绵弯曲的海岸线,蜿蜒起伏的山峦轮廓线,变幻漂浮的云朵,袅袅上升的炊烟,一泄千里星罗奇布的江河,粗细曲折分岔的血管¨¨¨他反复观察,持续思考,试图从中悟出大自然的真谛.1967年,他在美国<<科学>>杂志上发表了一篇题为"英国的海岸线有多长?"的论文.他对海岸线的本质作了独特的分析而震惊了学术界.这篇论文也成为他自己思想的转折点,分形概念就从这里萌芽生长了.

 

  2. 分形论奠基----用图象思考,

    曼德勃罗特于1973年在法兰西学院讲学期间,提出分形几何学思想,认为分形几何学可以处理自然界中那些极不规则的构型,指出分形几何学将成为研究许多物理现象的有力工具(模糊).这期间他关于分形的思想逐步明朗化,但并未给出明确的名字.1975年冬天的一个下午,曼德勃罗特正在撰写第一本专著,他注意到物理学领域正在兴起新的潮流,于是他思索着为自己多年来所酝酿的几何学起一个有别于前人定义的名字.他的儿子刚刚放学回家,曼德勃罗特随意翻阅儿子的拉丁文词典.他凝视着由动词frangere(破坏)变来的形容词fractus,联想到英文中的同源词fracture(断裂)和fraction(分数),于是创造了fractal(分形),这个词即是名词,又是形容词,(有人认为又是动词),即是英文又是法文.今天,这个词已为众多学术界人士所熟悉,并激发了巨大的兴趣.

    1977年,他出版了奠基性的著作:<<分形:形,机遇与维数>>,提出了分形的三要素,即构形,机遇和维数.紧接着于1982年又出版了<<自然界的分形几何学>>.这两部著作的发表标志着分形论迈进了现代新兴学科之林.曼德勃罗特的持续奋斗,获得了巨大的成就,赢得了崇高的荣誉.

    鉴于以前对新学科的介绍,"结果描述的多,过程叙述的少",不利后人借鉴,及对探索创新的机密,过程和方法的了解.而我们缺少的不是对结果的了解和理解,而是贫于对创新过程,方法和实质的理解与深刻感悟.所以对分形的创立过程做较多的介绍.

    与混沌(费根鲍姆,普适常数)等科学发现,创新的哲学方法学比较可以看出,科学革命者的知识结构不同,思维方式不同,性格有孤独,慎独一面,心理顽强,环境宽松,内耗少,伯乐高素养老板,做垫脚石.研究重大,高难问题,自己发现和寻找问题,建立新的方法,外插,发散法.以及刊物编辑部的眼光和评判能力.这是科学探索创新开拓的方法简论及对中医经络(祖国传统(科学)学问)创新的启示与思索:内插性创造,外插性创造,发散思维.

 

  3.分形的研究对象及分类(类别):

    分形论是以复杂事物为研究对象的,包括线性分形和非线性分形.线性分形是具有自相似性的无序,无规则性的系统,其维数的变化是连续的,又称自相似分形.其余的均为非线性分形,它是研究在非均匀线性变换群或非线性变换群下几何图形的性质.如图

 

                                      ┌有规分形(经典分形多些)

            ┌线性分形(均匀线性变换群)┴无规分形(随机分形多些)

    分形几何┤                           ┌自仿射分形(非均匀线性变换群)

            └非线性分形(非均匀线性变换群┤自反演分形(非线性变换群)

                       和非线性变换群)   ┕自平方分形(非线性变换群)

 

还有递归分形,多重分形,胖分形等等.自仿射分形比自相似性分形更重要.反映了大自然的复杂性和丰富性.

 

  4.分形认识论"共性观"与分形的意义和分维的涵义及作用:

    分形是非线性变换下的不变性.通过思维之窗,分形是观察无穷的方法(外插,发散的方法).分形认识论通常包含两方面,即一种是从整体向局部,从宏观向微观深化的认识过程(缩小的过程);另一方面,还包括从局部向整体,从微观向宏观的认识过程(放大过程,与混沌一样).是集古典与现代为一身的较全面的认识论方法.也就是较古典的从复杂到简单,从整体到局部的简化方法;及现代(古典中医,中国古典哲学和认识论)的系统论,控制论等,从局部向整体,从微观向宏观扩展的系统观,全局观和整体观的方法.现代分形与混沌包容了两方面的认识论过程,有双重涵义,即局部观和整体观并存,局部中蕴含着整体(特性),整体中又潜含着局部(自相似性,自仿射性:共性).是双向的.与简化论和系统论又有所不同(古典的简化(省略,约减,消元)论和系统论(增元,多元方程组)都只是单向的).是注重共性(自相似性,包括简单的共性和复杂的共性,以及简单与复杂的混合)和原样,少约简(经典简化),少添元(系统论)的.它是传统与现代的统一或返古归真(今:中医整体观),使认识论更为全面,丰富,实用和有效.

    分形论的出现,其作用和意义不只限于分形论专业本身,它已经超出了分形内部本身,具有广泛和深远影响.它拓宽了人们的视野,启迪了新的思维,更新了落伍的观念,激发出了新的智慧和创造性.带领和指导人们从有限认识无限,从局部(整体)认知整体(局部).从复杂中发现简单,由简单创造复杂.从无序生成有序,从有序寻找随机等.它帮助人们洞察隐藏在混乱复杂现象背后的精细结构和特性.是一种新语言和定量方法,是新思想,新思维和新方法.是科学方法和科学观念的一场革命.

    虽然,分形及分维现在能告诉给我们的东西(物理的,实际的意义)还不很多.描述的多,解释的少.定性的东西多过定量.抽象的内容多过实用.表面化的现象多过对内在本质的揭示.这是所有新学科的早期及发展进程中的必然阶段和结果,无可厚非.它的伟大功绩是不可磨灭的.

    分形几何可以用来描绘自然物体的复杂性,不管其起源或构造方法如何,所有的分形都具有一个重要的特征:可通过一个特征数,即分形维数测定其不平度,复杂性或卷积度.

    分维恰好是正确的码尺.在一定意义上说,不规则的程度对于物体占有空间的有效性.一条简单的一维欧几里德线根本不占有空间.但科克曲线的轮廓,以它的无限长度挤在有限的面积之中,确实占有空间(经络也是).它比线要多,但比平面又少.它比一维大,但仍不及二维图形.曼德勃罗特给出了精确的刻划"分数维数".直觉的起了重要作用.

    分形的数学概念是描述具有或大或小的各种不同尺度结构的事物,因此它反映了图形的层次结构原理.这里存在着一个至关重要的理想化假设,即分形是自相似的.尽管这种假设可能过于简化,但在自然界的数学描述中增加了深刻的维数的概念."全能维数",就象正数与负数,有理数与无理数,实数与复数,整数与分数等.自然的数学.

    分形,混沌是一种思想,它使这些科学家们信服,大家都是同一个合资企业的成员.许多学科的科学家们,他们相信简单的决定论的系统可以滋生复杂性;相信对传统数学来说过于复杂的系统仍然可能遵从简单规律;不论他们所从事的特殊领域如何,相信大家的任务都是去了解复杂性本身.而"复杂性"这概念很难定义.它的定义是它所提出的问题的总体(罗列式的定义).复杂过程的本质特征之一是能够实现不同动态之间的转变,有演化或进化.

    分形,混沌是数学,是物理......,是科学.科学的严格数学化所取得的巨大成功,特别让物理学家相信,实验中所观测到的事实是完完全全地符合数学规则的,物理现象中遵循着数学的定律,这是人类做出的最惊人的和最美好的发现之一.但是,数学不是由实验可推断出来的科学,它是人类智慧的结晶,正象雅典娜是从宙斯的头脑中产生出来的一样.

    数学知识是明确的,也就是说它真实的内容是能表达的,但这是一种先验性的知识.当一个物理学家利用这种知识,根据某地的一些测量和一种适当的理论来对完全不同的时间和空间的自然现象来作预测,而且这种预测被证明是真的,这就近乎于奇迹了.物理学家仅满意地证明这理论的正确性.但是,客观世界为什么会使它自己完全遵循一种理论,一种数学结构呢?

    基本思想是这样的:并不是我们的感觉和感性活动迫使自然套上数学的紧身衣,在我们的进化发展过程中,自然本身把数学作为一种客观的存在结构加到我们的理性之中.人类关于抽象和处理逻辑符号能力的进化必定同现实世界中实际存在的结构有关.数学用于描述自然范围之广是一种奇迹.科学还没有达到可清楚地辨别数学方法应用的极限.这种广度是惊人的,因为我们的数学能力是我们祖先通过处理日常世界中比较粗糙的结构和事物的经验中而取得的.

    这决不是说能很明显地把我们的几何和逻辑能力推广到日常世界的范围之外.但它们确实可以推广,这一点说明现实本身在很大程度上是相当(数学)结构化的.虽然可由越来越深刻的结构和定理推断出(描述现实的)这些结构性原理,但有一点是不确实的:现实世界,从浩瀚广阔的宇宙空间到极精致的细节,是完全可由数学结构来描述的.换言之,对自然的数学描述恐怕是有限度的.

 

  5.分形研究动向与发展前景:

  (1).分形数学理论及体系的创建与完善,憖特别是多重分形理论的研究.

    i.如何判断一个对象是分形或多重分形(寻找完整而精确的分形定义):现在的分形是"看"出来的,还无法严格证明"什么"是"分形",因此,给分形下一个严格的定义,还需努力.

    ii.分形维数的物理意义:憖分形维数是描述分形特征的定量参数.但如何理解分维的确切物理意义,是非常实用的现实问题.豪斯道夫维数的意义似乎明确一些,它定量地描述出一个集规则或不规则的几何尺度.其整数部分反映出图形的空间规模(整数维数部分,对分维一般形象化的理解或解释.经络的空间状况).对动力系统,豪斯道夫维数大体上表示动力变量的数目(个数).广义维数Dq或奇异谱,主要表征多重分形的非均衡性和奇异性.在材料科学中发现分维与材料的某些性质参数有关.在化学领域,发现分维同催化剂的催化性和选择性有关.但是,分维能否作为一个独立参数存在,现在还不太清楚.(经络分形:复杂性,不规则性,可能的多元性,管道,通道的分数维性和分形性,边界的不规整性,全息性等)寻找分维的更深刻的意义和实际用途,对分形理论的发展是一个极为重要的问题.

    iii.分形的动力学机制(分形与混沌):分形理论主要致力于形态的描述(对过程也做),对动力学机制(包括产生分形的充要条件)则很少涉及.为改变这种"知其然,不知其所以然"的状况,有必要引入非平衡态物理学,协同学等学科中一些概念和方法,还要把时间参量纳入研究之中.同时应对分数阶微分方程,非线性发展方程,辛几何等方面的进展给予关注.目前,在化学动力学及酶动力学领域已有发展,主要是通过分形子维数(谱维数)沟通时间与概率之间的关系.但这远远不能说明分形的生长动力学.应加强以下三方面的研究:i)必须研究集团生长的时间演化规律和集团的结构标度行为;ii)应当考虑耗散结构理论及自组织临界理论,进行有效的解析和数值研究.同时要重视随机力和涨落对系统的影响;iii)从细胞自动机和神经网络方面对生长问题进行模拟研究.总之,分形动力学是急需努力开拓的领域.

    iv.分形重构问题:这是动力学研究的逆问题.是"如何由分形维数来重构分形",即已知一个分形的维数,如何重新构建(还原)这个分形?显然,由于存在"一因多果"或"一果多因",由分形维数来重构分形还必须有其它的辅助参数,仅靠一个分维是不够的.

   v.关于Julia集和Mandelbrot集的问题

    vi.其它问题:i)随机多重分形的数学问题;ii)分形曲线的导数问题(如Gibbs导数);iii)分维计算的方法特别是由混沌时序计算分维的可信度问题;iv)多重分形的热力学,相变实质及相变普适性划分判据问题;v)分形的小波分析及小波变换产生分形的问题;vi)生物膜的分形结构及其与细胞膜病变的关系问题;vii)原子,分子的分形问题(包括量子混沌);viii)胖分形及重正化混沌(renormchaos)问题;ix)自组织临界现象及负幂律问题;x)图像的分形压缩问题.等.

  (2).分形的应用

    几乎涉及了自然科学与社会科学的所有领域.这里特别注意分形在中医,针灸,经络等祖国传统"科学"中的应用.

 

二. 分形论

(一).分形论简介:新的思维

    什么是分形--用图象思考:分形Fractal一词是由曼德勃罗特1975年创造的.分形就象传统中医的气,阴阳(邓宇等已给出了现代数理的新定义)等一样难下确切的定义.分形的原意是"不规则的,分数的,支离破碎的",故又可称为"碎形".分形是研究自然和社会中广泛存在的零碎而复杂,无序,不规则,非线性,不光滑,具有自相似,自仿射和标度不变性的复杂系统,图形,构造,功能,性质和复杂现象,及隐藏在这些复杂现象背后的,具有精细结构,内在随机性,局部与整体本质联系的,被传统线性科学(物理,欧氏几何学)排斥在外的不规则"病态",不可微的事体,形体.在尺度变换(放大,缩小)下具有"自相似性"和"标度不变性(无特征长度)"的,从有限认识无限的特殊规律的科学.即其组成部分(局部)以某种方式(结构,信息,功能等广义分形)与整体相似的形体,事物,或现象;或在多个层次上,适当地放大或缩小其几何尺寸,其局部与整体的整个精细结构,形态,性质等不因此而发生改变(统计)的形体,体系.分形是整体与局部在某种意义下:大小尺度之间的对称性与统一性的集合,是非线性变换下的不变性,是整体观(统一观),共性观,非二分法的产物,是有规则的不规则性.分形是没有特征长度,但具有一定意义(广义)下的自相似图形,结构,性质和形态的总称.

    分形的数学定义:豪斯道夫维数Df大于等于拓扑维数Dt,即Df≥Dt的集合,叫分形.

 

 (二)分形的特征与涵义

    1.分形的特征:自相似性,自仿射性,标度不变性和层次性是分形或不规则几何形体必不可少的重要特征.

    1)自相似性:是复杂系统的总体与部分,这部分与那部分之间的精细结构或性质所具有的相似性,或者说从整体中取出的局部(局域)能够体现整体的基本特征.即几何或非线性变换下的不变性:在不同放大倍数上的性状相似.包括几何结构与形态,过程,信息,功能,性质,能量,物质(组份),时间,空间等特征上,具有自相似性的广义分形.自相似性的数学表示为:f(λr)=λ^αf(r),或 f(r)～r^α.其中λ称为标度因子,α称为标度指数(分维),它描述了结构的空间性质.函数f(r)是面积,体积,质量等占有数,量等性质的测度.

    一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的,或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似.另外,在整体与整体之间或部分与部分之间,也会存在自相似性.一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式,而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合.但是,表征自相似系统或结构的定量性质如分形维数,并不会因为放大或缩小等操作而变化[这一点被称为伸缩对称性],所改变的只是其外部的表现形式.自相似性通常只和非线性复杂系统的动力学特征有关.

    人们在观察和研究自然的过程中,认识到自相似性可以存在于物理,化学,天文学,生物学,(中医,针灸,经络)材料科学,经济学,以及社会科学等众多学科中,可以存在于物质系统的多个层次上,他是物质运动,发展的一种普遍的表现形式,即是自然界的普遍规律之一.但是科学工作者真正把自相似性作为自然界的本质特性来进行研究还只是近一,二十年的事.

   2). 标度不变性(无特征长度):

    一个具有自相似性的物体(系统,事物)必定满足标度不变性,或者说这类物体没有特征长度.标度不变性是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大或缩小,它的形态,复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化,,所以标度不变性又称为伸缩对称性.

    标度不变性(无特征长度):憖具有自相似性的系统,物体,事物必定满足标度不变性,或者说这类形体没有特征长度--没长短,面积,体积等.特征长度是指所考虑的对象中最具代表性的尺度,如空间的长,宽,高,及时间的分,秒,时等.标度不变性是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大还是缩小,它的结构,形态,性质(功能),复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化(或是统计性的),故标度不变性又称为伸缩对称性.此空间称无标度空间,其内是分形,范围以外就不是分形了,它有有限与无限之分.

    对于实际的分形体来说,这种标度不变性只在一定的范围内适用.人们通常把标度不变性适用的空间称为该分形体的无标度空间.在此范围以外,就不是分形了.

 

憚                     分形几何学与欧氏几何学的差异

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                描述的对象   层次性自相似性  特征长度   表达方式        维数

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  欧氏几何学  人类创造的简单      常无         有      用数学公式    0 及正整数

                的标准物体    (可微,可导,连续,光滑,规整)             1 或2 或 3

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  分形几何学  大自然创造的复       有          无   用迭代语言,分维   一般是分数

 (非欧几何学)  杂的真实物体  (不连续,不可导,不规则,粗糙,不光滑,曲折)(可是正整数)

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分形是"有规则的不规则性".分形几何注重结构和形态的描述,象初等欧氏几何, 不象可以三

维定位的解析几何.

    3)层次性,递归性:自相似性是不同尺度上的对称,是跨层次的共性观(分形元,不变性)--同样形态在不同尺度,不同层次上的相同,或相似结构的重复构建与变换,其结构套着结构,特征或结构隐含嵌套,具有多层次性和递归性.憙

    4)自仿射性:自相似系统是局部与整体在不同方向上的缩放,拉伸的拷贝,其比例都是同一的,是常数.而自仿射系统,其在各方向上的伸缩,拉放拷贝的比例不同.

    5)分形元--初始元--生成元:是构成分形整体,相对独立的,放大与缩小均不改变,及共同相似的基本部分,即相似单元,相似单位,或是变换中不变性(共性)的共同的,最基本的,简单的结构,性质的单位或单元,是整体与局部共性的统一体.

   分形性就是分形性质的统合,如自相似性和标度不变性,分数维性等.

    6)分形元-支(枝,肢),岔(叉,杈)：如五行的“金，木，水，火，土”就是五行分形元的五个分形元支，五杈；阴阳有两个分形元支等。

 

    2.整体与局部(分形元与分形子):分形元或生成元是构成分形整体的相对独立的部分,即相似单元.分形系的整体与局部是("自")相似的.

 

   3. 分形的应用范围:

    即分形所涉及的领域,几乎所有领域.有几何分形,广义分形,自然分形,社会分形等.

    1)广义分形:是不只包含在形态和结构上具有自相似性的几何分形或分形几何学,在信息,功能,(组成)和时间上的相似性也包含在自相似性概念中.于是,把形态,结构,信息,功能,[能量,物质.(从DNA到蛋白质再到活生命体的物质组份,组成的分形,能量,信息分形,重演分形,遗传分形,组织胚胎分形等多元分形)]时间或空间上具有自相似性的客体称为广义分形.

    2)自然分形:是自然界客观存在的或经过理论抽象的,具有自相似性的客体.范围很广,遍及数学,物理,化学,材料,表面,计算机,电子,微电子,生物学,医学,农学,天文学,气象,地理,地质,地震,特别是中医(经络)等等很多.按系统的具体特点,又可分为几何分形,功能分形,能量分形,信息分形和重演分形等.线状分形(经络缝隙分形),表面分形(经络截面分形),体积分形(经络细胞充填,填充分形),(中医经络，藏象的全息分形,包括几何分形,功能分形信息分形能量分形等的组合)等.生物分形是重要一环.

    3)社会分形:i.经济学中的分形;ii.人文方面的分形,iii.思维分形;iv.情报分形;v.管理科学中的分形;vi.艺术分形;vii.文学(社会)与自然(社会).

 

(三). 分形的数学:分维--分形的维数

  1.分维的计算:

    1)欧氏空间的整数维,拓扑维:维数是物体的独立坐标的个数.欧氏几何通常有x,y,z(+t-时间)三个坐标,其所研究的规整几何图形,点是0维,直线是1维,平面是2维,空间图形是3维,时空空间是4维.可用M=l^d表示,取对数及换底后得欧氏维数(或广义维数,全能维数--整数维+分维的基准式D=)d=logM/logl.它们都是整数,分立,不连续,间断,突变的维数.通常,欧氏空间维数(经典或经验维数)d与拓扑维数Dt相同,Dt=d,是规整的.而对于不规整的非欧几何图形--分形,其维数关系也就不那么规整了,即欧氏测度--长,宽,厚度不能抓住不规则形体的本质,于是曼德布罗特转向新的想法--关于维数的新想法--分维.

    2)分维--新的维数,全能维数,连续维数,分数维数:分维是定量刻划分形特征的参数.分维是数量化的分形的维数.它不是传统欧氏整数维数的简单扩展,具有许多新的涵义.分维即可以是分数值,也可以是整数.依具体对象的不同有多种定义和算法(十种以上).如最常用的豪斯道夫维数,相似维数,信息维数,盒维数,关联维数,广义维数,填充维数,孔隙维数,分配维数等.豪斯道夫维数Df定义为:Df=lim[ln(N(ε)/ln(1/ε)].

 

   2. 分维及计算

    1)新的维数(全维数:整数维+分维)

     a.由欧氏几何的"整数维"引出的非欧几何----分维:

      a).欧氏几何的"整数维"

    欧氏几何学是一门具有2000多年历史的数学分支,他是以规整几何图形为其研究对象的.有线性和曲线两大类.这些规整几何图形的点,直线,平面图形(曲线),空间图形的维数(欧氏维数)都是整数维,分别为0,1,2,3.对规整几何图形的几何测量是指长度,面积和体积的测量.则上述两类几何图形的测量结果,可以归纳简化表述为如下两点:

      i. 长度=l,面积=l² ,体积=l³

      ii.长度(半径)=r¹,面积=πr²,(球)体积=(4/3)πr³

    上述各种关系的量纲分别是长度单位l的1,2,3次方,即这些方次恰与该几何图形的欧氏维数相等,并且是整数.

    归结上述两点,各类几何图形的测量都是以长度l为基础的.所以,欧氏几何中对规整几何图形的测量,可以概括表述为

                       长度=l

                       面积 A=al²                                        1

                       体积 V=bl³

式中a和b为常数,称为几何因子,他与具体的几何图形的形状有关.如圆a=π;球b=4π/3.    以上都是欧几里得几何规则图形的整数维.而对于不规则的非欧几何图形,其维数关系也就不那末规整了,即欧几里得测度----长度,宽度,厚度----不能抓住不规则形状的本质,于是曼德勃罗特转向新的想法,即关于维数的新想法.

      b).非欧几何的"分维"

    欧氏几何中的空间是3维的,平面是2维的,直线是1维的,而点是0维的.那末,一个线团的维数如何呢?这与观察方法有关.远看,他是一个点,是0维;近些看,象球,有空间3维感;再近看,就看到了绳子,又成为1维的了.引发人们注意到几何中也具有"相对关系",以及维数的多样性.曼德勃罗特"越过"了0,1,2,3,......的"传统整数维"(同时也超越了传统观念),进入了看起来象是不可能的"分数维数",分维出现了.从概念上说,这是一场走钢丝表演,是冒险.对于非数学家,"外行",(年轻的)新手,生手,即开拓创新者(或所谓的"半瓶子醋"),他要求先自愿地暂停疑虑(思考),再另寻它路.而对数学家或该行业保守的专家,可能会不懈一顾,不予考虑,不许生疑,被传统所限制束缚住,以至难有大突破.而事实证明前者的方法和策略是极为强劲有力的成就大功者.

    分维与古典的欧几里得维数是有联系的.将欧氏维数的1式统一扩展成

                      M=l^d             1'

则由对数定义可知,指数d可以表示为以l为底的,M的对数,即

                          d=log_lM

经用换底公式换底,就可以得到关于维数的解析通式,分维中广泛使用的关系式

                          d=lnM/lnl

他可以被看成是各种维数的综合表达式,即广义维数(欧氏维数及各种分维)的由来或基准式.分维是一种测度,是用其它方法不能明确定义的一些性质----一个对象粗糙,破碎或不规则程度----的手段.即对某种特征性的粗糙度的量度.是有规则的不规则性的反映.此法的关键要点就是使在不同的尺度上(放大或缩小)不规则(图形,功能等)的程度保持恒定.

 

   2).拓扑维和豪斯道夫维----维数的定义

    连续空间的概念,空间维数是连续的,不是间断离散的.对数,换底,

    拓扑维数是比分形维数更基本的量,以Dt表示,它取整数值,在不作位相变换的基础上是不变的,即通过把空间适当地放大或缩小,甚至扭转,可转换成孤立点那样的集合的拓扑维数是0,而可转换成直线那样的集合的拓扑维数是1.所以,拓扑维数就是几何对象的经典维数Dt=d.拓扑维数是不随几何对象形状的变化而变化的整数维数.

    对于任何一个有确定维数的几何体,若用与它相同维数的"尺r"去度量,则可得到一确定的数值N;若用低于它维数的"尺"去量它,结果为无穷大;若用高于它维数的"尺"去量它,结果为零.其数学表达式为:N(r)～r-Dh.上式两边取自然对数,整理后可得

                     Dh=lnN(r)/ln(1/r)   

或

                 Dh=lim[lnN(σ)/ln(1/σ)]

式中的Dh就称为豪斯道夫维数,它可以是整数,也可以是分数.欧氏几何体,它们光滑平整,其D值是整数.人们常把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形,把此时的Dh值称为该分形的分形维数,简称分维.也有人把该维数称为分数维数.当然还必须看其是否具有自相似性和标度不变性.

    广义维数,广延维数

   3).分形的数学定义:

    定义1 如果一个集合在欧氏空间中的豪斯道夫维数Dh恒大于其拓扑维数Dt,即

                 Dh>Dt

则称该集合为分形集,简称为分形.(Dh≥Dt)

    这个定义是由曼德勃罗特在1982年提出的,四年后他又提出了一个实用的定义.

    定义2 组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形.

    它突出了分形的自相似性,反映了自然界中广泛存在的一类"事物"的基本属性:局部与局部,局部与整体在形态,功能,信息,时间与空间等方面具有统计意义上的自相似性.它与欧氏几何中的"相似"不同.上述定义还不是严密,精确的定义.

    4).现有分维计算的具体形式及定义:维数的其它定义

    (1)Hausdorff(豪斯道夫)维数 Dh,又可称为覆盖维数和量规维数

          Dh = lim (lnN(σ)/ln(1/σ))

              σ→0

    (2) 信息维数 Di

             Di = lim (∑PilnPi/lnσ)

                 σ→0

    (3) 关联维数 Dg

             Dg = lim (lnC(σ)/ln(1/σ))

                 σ→0

    (4) 相似维数 Ds

             Ds = lnN/ln(1/r)

    (5) 容量维数 Dc

             Dc = lim (lnN(ε)/ln(1/ε))

                 σ→0

             Dc≥Dh

              ～

    (6) 谱维数 D (分形子维数)

    是研究具有自相似分布的随机过程,如随机行走的粒子的统计性质,可用渗流模型来描述的多孔介质,高聚物凝胶(经络的通道及传质)等一类"蚂蚁在迷宫中"的问题.

    (7) 填充维数 Dp

    由半径不同的互不相交的小球尽可能稠密的填充定义的维数称之为填充维数(Packing Dimension).

    (8) 分配维数 Dd

    可以看成是利用两脚间隔距离为σ的两脚规测量曲线C所得的"长度".即定义为

                 Dd = lim (lnMσ(C)/(-lnσ))

                     σ→0

曲线的分配维数至少等于盒维数.

    (9) 李雅普诺夫(Lyapunov)维数 Dl

    是作为混沌的吸引子维数,他是利用Lyapunov指数来定义的.奇怪吸引子的断面图总是呈分形构造的(经络的断面切片),因此就可以测定其分形维数.

 

   5).分形的典型性质:憘 (分形的例举式定义,分形性质的集合)

    一般地,称集F是分形,即认为它具有下述典型性质:

     a.F具有精细的结构,即有任意小比例的细节.

     b.F是如此的不规则,以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述.

     c.F通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的.

     d.F的"分形维数"(以某种方式定义的)一般大于它的拓扑维数.

     e.在大多数令人感兴趣的情形下,F可以以非常简单的方式来定义,可能由迭代产生.

    另外,就分形维数而言,一个集合的分形维数还不能给出该集合的基本信息.有关这个集合的信息可以由其它的维数来给出,如拓扑维数.

    应当看到,并不存在严格的规则来确定某个量是否能合理地被当成一个维数,在确定一个量能否作为维数时,通常是去寻找它的某种类型的比例性质,在特殊意义下定义的自然性,以及维数的典型性质.

    应注意一些表面上很相似的维数定义,具有的性质可能差别很大,不应当假定不同的定义对同一个集合能给出相同的维数值.即使对很"规则"的集也是如此,这样的假设在过去已造成了很大的误解和混乱.对任一维数应当从它的定义去研究它的性质,豪斯道夫维数所具有的性质,别的维数未必都有.分形是有规则的不规则性.

   6).分形原理

    (1)自相似原理

    (2)积和原理: 对S1∩S2=0的分形子集     Df=D1+D2.

    (3)加和原理: 如果分形子集S1∩S2=S,则Df=D1+D2-d.

    (4)合并原理: 分形集S=Sa+Sb,Da>Db,则Ds=Da.

    (5)匹配原理: 若想S1∪S2→S,需D1=D2 (=Ds).

    (6)级差原理: Si∈S,i是级次(层次).

    (7)自仿射原理

   *(8)互补原理: S∪S'=U=1,S∩S'=0,S与S'互补.

     7).分形几何与解析几何的关系(经络定位)

    分形几何与欧氏几何类似,是研究或考察物体形状的几何学,不象解析几何可以通过坐标A(x,y,z)进行定位.不过将来的"解析分形几何"应该可以有双重作用.

 

 (四).分形维数的测量

   1.基本方法 

    分形维数的定义有很多,但适合所有事物的定义还没出现.每个维数的测定对象常是不同的,所以要区别对待,物适其用.

    实际的测定分形维数的方法,大致可以分成如下五类:

    (1)改变观察尺度求维数:

    本方法是用圆和球,线段和正方形,立方体等具有特征长度的基本图形去近似分形图形.

    (2)根据测度关系求维数:这个方法是利用分形具有非整数维数的测度来定义维数的.    (3)根据相关函数求维数;C(r)∝r-a,a=d-D

    (4)根据分布函数求维数;p(r)∝p(λr)p(r)∝r-D

    (5)根据频谱求维数.

    2.盒维数(计盒维数,Kolmogorov熵,熵维数,度量维数,对崐数密度等)

    3.函数图的维数

    4.码尺与分形维数的关系----分形维数的不确定性对实际分形体而言,测量的分形维数值随码尺而变化,也就是说,对同一分形体由于选取的码尺不同,会得到不同的分维值.原因是,结构层次不同,自相似的程度不同.测量时要注意.

 

(五).分维的物理意义:

    分形是复杂不规则的系统,而描述这系统的粗糙,破碎,不规则,不光滑程度及复杂性的定量指标和手段就是非整数维数:分维,分数维数是描述复杂对象或系统的最基本特征--分形特征的定量参数.分维D度量了系统填充空间(致密)或缝隙(疏松)的能力,刻划了系统的无序性,表征了动力学系统最低的基本或独立变量的个数.豪斯道夫维数定量地描述了一个集合规则与不规则的几何尺度,其整数部分反映出图形的空间规模(整数维数).对于奇怪吸引子,维数给出了需要表征其上点的位置所需的信息量.广义维数或奇异谱主要表征多分形的非均衡性和奇异性.在材料科学中分维与材料的某些性质参数有关.在物理化学领域,分维同催化剂的催化作用和选择性有关;与表面分形,膜,吸附剂(经络:静闭活开Maze-Channel模型);高分子,蛋白质,胶体凝聚,渗流,分形生长,分形行走的刻划等关系密切.在时间序列中,关联维数和广义维数似乎有独特作用.在地震预报中,能量分维,时间分维和空间分维可以作为单项参考参数.在石油开采和生物生态学中,分维各有不同的含义.维数还是集合层次的量值标号和物理化学量的非整数量纲,反映复杂系统的层次结构和奇异性.但是,分维能否作为一个独立参数存在,现在还不太清楚,故寻找分维的更深刻的含义和实际用途是分形理论今后发展的主要问题.

    分形研究的对象及应用范围极广,几乎涉及自然与社会的各个领域.分形的类别也很多,有线性分形,非线性分形;有规分形,无规(随机)分形;自然分形,社会分形;自相似分形,自仿射分形;固体分形(填充维,孔隙分形--经络?);重分形,胖分形等.分维可通过测量来确定,方法有多种.分形扩展的产物有广义体积(面积),扩展了体积的内涵.

 

(六).规则分形--数学,哲学家古人的创造:

    1.古老阴阳集

    分形有许多类别,这里重点推介一个被我们所构造的,并由我们予以数学化的,规则的古老传统的"阴阳"分形集(二分集,三分集).

    阴阳(实质)是系统,事物或现象的"物质-能量-信息"整合统一体的状态函数(EP,EdS,pP等)的划分,两分.状态函数u≥S界值域值的部分叫阳;u≤S的叫阴.阴阳二集合及其分界值域S具有模糊性和多变性,它们是"模糊变集",可以用集合论和模糊论定量定义.这是阴阳的本质(实质)及现代诠释的最新认识.故理想化的阴阳划分可以采用1/2法或1/3法(阴阳的两头可以是确定性,占总体的两部分2/3,中间模糊分界S域集算一份1/3).按阴阳的划分规则具有无限可分性,即一分二,二分四,...,构造结果见图.取一线段[0,1]二等分,图a)实线部分表示"阳",无线,空白处表"阴",此阴阳两部分再二等分,依此无限划分下去得到阴阳二分集.此集合有自相似性,满足自相似集合(的定义):是一有界集合,它包含N个不相重叠的子集,当其放大或缩小r倍后,仍与原集合重合.是最简单的分形集.图c)是阴阳三分集,取线段[0,1],分成三等分(分形元),左为阴,右为阳,中间空白处为模糊分界(象太极图中间的S型交合部),此三段再三等分,照此无限分割下去,得到了类似康托尔三分集,图b)的"阴阳三分集",也具有自相似性(特别是从第三步以后).其标尺ε,及与之对应的被分割或保留的实线或空白数目N(ε)的关系附图旁.则阴阳二分集的分维D=lim[ln2^n-1/ln(1/2^{- n})]=lim[(n-1)/n]=1;阴阳三分集的分维D=lim[ln2(3^n-1)/ln(1/3^-n)=lim[ln2/ln(1/3^-n)+ln3^n-1/ln(1/3^-n)] =0+lim[(n-1)/n]=1,n→∞;空儿或阴(阳)集的分维D=lim[ln3^n-1/ln(1/3^-n)]=1.三者分维值的相等,预示了阴阳分形集的二分,三分构造法所隐含的内在等当性,并间接验证了阴阳的模糊三分集是成立的,且它与传统阴阳"二分"规则无矛盾,互容.同时也揭示了阴阳实质的模糊定量的本质和关键，或相似维数Df=ln2/ln2=ln3/ln3=1.

    仿阴阳分形集还能构造出中医或中国(东方)哲学的阴阳二气集,阴阳五行集,八纲集,四诊集,藏象集,细胞分裂(似阴阳二分集),胚胎生长发育(多重)分形系统等等,这也是分形领域的新成员.而复杂,不规则,多元,不光滑,曲折,迷宫,航道,层析柱样的"静闭-活开Maze-Channel动态活体分形经络",细胞联结,胚胎生长的产物:经络解剖结构与形态,经络壁--经络分界的分形,均是自然界中医的分形--随机分形.