Intervals
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Description
You are given n closed, integer intervals [ai, bi] and n integers c1, ..., cn.
Write a program that:
reads the number of intervals, their end points and integers c1, ..., cn from the standard input,
computes the minimal size of a set Z of integers which has at least ci common elements with interval [ai, bi], for each i=1,2,...,n,
writes the answer to the standard output.
Input
The first line of the input contains an integer n (1 <= n <= 50000) -- the number of intervals. The following n lines describe the intervals. The (i+1)-th line of the input contains three integers ai, bi and ci separated by single spaces and such that 0 <= ai <= bi <= 50000 and 1 <= ci <= bi - ai+1.
Output
The output contains exactly one integer equal to the minimal size of set Z sharing at least ci elements with interval [ai, bi], for each i=1,2,...,n.
Sample Input
5
3 7 3
8 10 3
6 8 1
1 3 1
10 11 1
Sample Output
6
思路：
题目的转换真的非常非常巧妙，让我再来梳理一下。本题的题意是给了我们一些区间，然后告诉每个区间中至少需要取Ci个数。求出满足n个条件的集合C的最少的元素个数。
首先第一个转化，是找到一个合理的表示。用ti表示每一个数，如果有用就是1，否则是0。吧S(i+1)定义成S(i+1)=sigma(tj)(1<=j<=i)也就是。S[i+1]表示从0到i有多少个数是需要的。
因此，题目中的条件可以表示成S[bi+1]>=S[ai]+Ci//至少要Ci个
这与bellman中的松弛操作时很像的。因此可以看成一些点
有D[v]>=D[u]+w(u,v)
上式对任何u成立，所以v应该是里面最大的，若D[v]<D[u]+w(u,v)则D[v]=D[u]+w(u,v)
于是。可以从ai和bi+1连一条线，它的长度是ci
这里只有这些条件还是不够的，还要加上两个使其满足整数性质的条件
1>=s[i+1]-s[i]>=0
有了这么多条件，使其自然构成了一个差分约束系统。
用spfa算法得到一个最长路，第一个到最后一个节点的最长路即是需要求的值。
Source Code
1 #include<iostream>
2 #include<vector>//for map
3 #include<queue>//for spfa
4 using namespace std;
5 #define MAXN 50010
6 #define pb push_back
7 int dis[MAXN],used[MAXN];
8 int aa=INT_MAX,bb=-1;//aa最小bb最大
9 struct edge
10 {
11 int p;
12 int len;
13 }tmp;
14 vector<edge>map[MAXN];
15
16 void spfa()
17 {
18 int i,t;
19 queue<int>Q;
20 for(i=aa;i<=bb;i++)
21 dis[i]=-INT_MAX;
22 dis[aa]=0;
23 used[aa]=1;//先进一个
24 Q.push(aa);
25 while(!Q.empty())
26 {
27 t=Q.front();
28 Q.pop();
29 used[t]=0;//出队列过后,还可能再进
30 int nt=map[t].size();
31 for(i=0;i<nt;i++)
32 {
33 if(dis[map[t][i].p]<dis[t]+map[t][i].len)//求最长路
34 {
35 dis[map[t][i].p]=dis[t]+map[t][i].len;
36 if(!used[map[t][i].p])
37 {
38 used[map[t][i].p]=1;
39 Q.push(map[t][i].p);
40 }
41 }
42 }
43 }
44 }
45 int main()
46 {
47 int i,n;
48 scanf("%d",&n);
49 int u,v,w;
50 for(i=1;i<=n;i++)
51 {
52 scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
53 if(u<aa) aa=u;
54 if(v+1>bb) bb=v+1;
55 tmp.len=w;
56 tmp.p=v+1;
57 map[u].pb(tmp);
58 }//添加ci边
59 for(i=aa;i<=bb;i++)
60 {
61 tmp.len=0;
62 tmp.p=i+1;
63 map[i].pb(tmp);
64 tmp.len=-1;
65 tmp.p=i;
66 map[i+1].pb(tmp);
67 }//添加0边和-1边
68 spfa();
69 printf("%d\n",dis[bb]);
70 return 0;
71 }
72
技术总结：技术上使用了STL的vector让存储图的邻接表非常方便。spfa的时候省事用了STL的queue。基本的操作就是pop(),push(),front(),size(),empty()
还有一个贪心算法：先按后端点排序，把前面的要求越往后放越好，这样后面放的时候就可以利用前面放的结果。贪心为什么是正确的？