问题背景
如图，一个半径为1的圆周上有5个点。按角度制给出5个点的极角Ai (0<=Ai<360, i=1..5)。按下图的方法连成一个五角星, 计算圆被切割成的11个部分面积的方差。
具体地说, 假定11个区域的面积分别为S1,S2, ..., S11，那么面积的均值计算方法为：
M = (S1+S2+...+S11 ) / 11
面积的方差计算方法为：
D = ((S1-M)2 + (S2-M)2 + ... + (S11-M)2) / 11
输入格式
输入仅一行，包含5个[0,359]内的互不相等的整数。
输出格式
输出仅一行，包含一个实数，即各部分面积的方差。输出保留小数点后4位。
样例输入
0 144 72 288 216
样例输出
0.0144
我对问题的分析：
1、把极角排序（有利于后续计算），转化为直角坐标系坐标
2、求五角星内交点五个
3、求五个个星顶三角形面积
4、求出“弓形-三角形”面积，然后以五个小扇形为未知量解一个五元线性方程组，求出五个小扇形面积
5、由圆的面积减去求出的十个面积，得到重心的五边形面积
6、根据方差公式求出答案
【评价】这个方法基本属于按部就班的方法，因为没有发掘到圆内接五角星的特殊性质，所以并没有涉及到什么技巧。
我的代码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define PI 3.1415926535898
typedef struct POINT
{
double x;
double y;
}Point,*lpPoint;//点坐标
struct COMB
{
POINT p;
POINT PL;//左交点
POINT PR;//右交点
};//五端点的附带结构
COMB c[5];//结构数组
int arg[5];//角度
double areaG[5];//弓形
double area[11];//11个部分面积
//选择排序
void sort(int arr[], int n)
{
int i, j, min, t;
for (i = 0; i < n -1; i++)
{
min = i;
for (j = i + 1; j < n; j++)
{
if (arr[min] > arr[j])
{
min = j;
}
}
if (min != i)
{
t = arr[i];
arr[i] = arr[min];
arr[min] = t;
}
}
}
//两线段交点
POINT GetCrossPoint(POINT p1, POINT p2, POINT q1, POINT q2)
{
/*根据两点式化为标准式，进而求线性方程组*/
POINT crossPoint;
double tempLeft,tempRight;
//求x坐标
tempLeft = (q2.x - q1.x) * (p1.y - p2.y) - (p2.x - p1.x) * (q1.y - q2.y);
tempRight = (p1.y - q1.y) * (p2.x - p1.x) * (q2.x - q1.x) + q1.x * (q2.y - q1.y) * (p2.x - p1.x) - p1.x * (p2.y - p1.y) * (q2.x - q1.x);
crossPoint.x =tempRight /tempLeft;
//求y坐标
tempLeft = (p1.x - p2.x) * (q2.y - q1.y) - (p2.y - p1.y) * (q1.x - q2.x);
tempRight = p2.y * (p1.x - p2.x) * (q2.y - q1.y) + (q2.x- p2.x) * (q2.y - q1.y) * (p1.y - p2.y) - q2.y * (q1.x - q2.x) * (p2.y - p1.y);
crossPoint.y =tempRight / tempLeft;
return crossPoint;
}
//求所有交点
void cross()
{
int i;
for (i=0;i<5;i++)
{
c[i].PL = GetCrossPoint(c[i].p,c[(i+3)%5].p,c[(i+1)%5].p,c[(i+4)%5].p);
c[(i+4)%5].PR = c[i].PL;
}
}
//void Helen();
//double SideLength(POINT X,POINT Y);
//点到点的距离
double SideLength( POINT X,POINT Y )
{
double r=sqrt(((X.x-Y.x)*(X.x-Y.x)+(X.y-Y.y)*(X.y-Y.y)));
return r;
}
//海伦公式求三角形面积
void Helen()
{
double a,b,d; //三边长
double p; //平均值
for (int i=0; i<5; i++)
{
a=SideLength(c[i].p,c[i].PL);
b=SideLength(c[i].PR,c[i].PL);
d=SideLength(c[i].p,c[i].PR);
p=0.5*(a+b+d);
area[i]=sqrt((p*(p-a)*(p-b)*(p-d)));
}
}
//求五个弓形面积
void Arch()
{
double x;
double arc;
double rui;
for (int i=0;i<5;i++)
{
x=0.5*SideLength(c[(i+4)%5].p,c[(i+1)%5].p);
rui = acos(x);
arc=PI-2.0*acos(x);
areaG[i]=0.5*arc-0.5*sin(arc);
}
}
//解方程求弧边的五块小扇形面积
void Equation()
{
double temp[5];
//弓形减去三角(方程右边)
for (int i=0; i<5; i++)
{
temp[i] = areaG[i] - area[i];
}
//求解
area[5] = (temp[0]+temp[2]+temp[4]-temp[1]-temp[3])/2;
area[6] = (temp[0]+temp[1]+temp[3]-temp[2]-temp[4])/2;
area[7] = (temp[1]+temp[2]+temp[4]-temp[0]-temp[3])/2;
area[8] = (temp[0]+temp[2]+temp[3]-temp[1]-temp[4])/2;
area[9] = (temp[1]+temp[3]+temp[4]-temp[0]-temp[2])/2;
}
//求最后中间一块面积
void LastArea()
{
double plus(0.0);
for (int i=0;i<10;i++)
{
plus += area[i];
}
area[10] = PI - plus;
}
int main(void)
{
int i;
for (i=0;i<5;i++)
{
scanf("%d",&arg[i]);
}
sort(arg,5);//排序
double d[5];
for (i=0;i<5;i++)
{
d[i] = (double)(arg[i])*PI/180.0;
}
//点坐标
for (i=0;i<5;i++)
{
c[i].p.x = cos(d[i]);
c[i].p.y = sin(d[i]);
}
//求所有交点
cross();
//----------求面积--------------
Helen();//五个三角形面积
Arch();//弓形面积
Equation();//解方程求弧边的五块小扇形面积
LastArea();//求最后中间一块面积
//对area[11]求方差
double aver = PI/11.0;
//printf("%.4f\n",aver);
double result = 0.0;//加和
for (i=0;i<11;i++)
{
result = result + (area[i]-aver)*(area[i]-aver);
}
result = result/11.0;
result = (float)((int)(result*10000+0.5))/10000.0;//四舍五入取四位
printf("%.4f\n",result);
return 0;
}