先说一个定理：
若正整数n可分解为p1^a1*p1^a2*...*pk^ak
其中pi为两两不同的素数,ai为对应指数
n的约数个数为(1+a1)*(1+a2)*....*(1+ak)
如180=2*2*3*3*5=2^2*3^2*5
180的约数个数为(1+2)*(1+2)*(1+1)=18个。
若求A/B的约数个数，A可分解为p1^a1*p2^a2*...*pk^ak，B可分解为q1^b1*q1^b2*...*qk^bk,则A/B的约数个数 为(a1-b1+1)*(a2-b2+1)*(a3-b3+1)...*(ak-bk+1).
然后说N的阶乘：
例如:20!
1.先求出20以内的素数,(2,3,5,7,11,13,17,19)
2.再求各个素数的阶数
e(2)=[20/2]+[20/4]+[20/8]+[20/16]=18;
e(3)=[20/3]+[20/9]=8;
e(5)=[20/5]=4;
...
e(19)=[20/19]=1;
所以
20!=2^18*3^8*5^4*...*19^1
解释：
2、4、6、8、10、12、14、16、18、20能被2整除
4、8、12、16、20能被4整除（即被2除一次后还能被2整除）
8、16能被8整除（即被2除两次后还能被2整除）
16能被16整除（即被2除三次后还能被2整除）
这样就得到了2的阶。其它可以依次递推。
所以在求N的阶乘质数因数个数时，从最小的质数开始，
1 int cal(int n, int p) {
2 if(n < p) return 0;
3 else return n / p + cal(n / p, p);
4 }
其中P是质数，则该函数返回的就是N的阶乘中可以表达成质数P的指数的最大值。原理如上。
TOJ 2308的AC代码：
1 #include<iostream>
2
3 #include<cmath>
4
5 #define N 90
6
7 #define M 450
8
9 using namespace std;
10
11 int p[M+2]={0};
12
13 int prime[N+2],l,q,t=1; //求前90个素数
14
15 void getprime(int n)
16
17 {
18
19 for(l=2;l<n;l++)
20
21 {
22
23 if(!p[l])
24
25 {
26
27 for(q=l+l;q<n;q+=l)
28
29 {
30
31 p[q]=1;
32
33 }
34
35 prime[t]=l;t++;
36
37 }
38
39 }
40
41 }
42
43 int cal(int n,int m) //求N的阶乘含质因数M的次数
44
45 {
46 if(m>n)
47
48 return 0;
49
50 else
51
52 return n/m+cal(n/m,m);
53
54 }
55 int main()
56 {
57 int i,j,k,n;
58
59 long long m;
60
61 getprime(M);
62
63 while(cin>>n>>k)
64
65 {
66 if(2*k>n) k=n-k;
67
68 for(i=1,m=1;prime[i]<=n,i<t;i++)
69
70 m*=(cal(n,prime[i])-cal(k,prime[i])-cal(n-k,prime[i])+1);
71
72 cout<<m<<endl;
73
74 }
75 }