矩阵相乘问题描述：给定n个矩阵{A1，A2，...，An}，当然A1到An的任意段都是可乘的，求最小相乘次数。例如有三个矩阵维数分别为：10*100，100*2，2*5；若前两个相乘，再乘第三个，总的相乘次数=10*100*2+10*2*5=2100；若第二个与第三个先相乘，在乘第一个，总相乘次数=100*2*5+10*100*5=5100；显然，相乘次序会对计算量有很大影响，如果你在学线性代数的时候，写了一个矩阵相乘的程序，结果跑到同学那里演示的时候，半天没运行出来，那就尴尬了！！！
函数调用一般会要传参，这些参数都是非常有意义。这个题目属于动态规划，最重要的一点就是想到一个二维数组m[i][j]，代表矩阵i到矩阵j相乘的最优解，然后就是怎样给这个有意义的数组置数了，这种数组定义和数组置数若成，则我们要的答案就在m[1][n]中，代表矩阵1到矩阵n相乘的最优解。（如果你很饥渴的想解决这个问题，就直接看代码吧！！）有人可能会问，为什么会想到这种数组定义，主要有两个方面：一，学习（高效），看多了自然会想到给数组某种意义，培育一种思想；二、思考与分析，来的缓慢，但是凌驾与学习之上，也是学习的目的，是终极武器，也是基础武器。。。。
不扯了，回到主题，很明显如果只有一个矩阵，相乘次数为零；如果有两个，直接相乘，若第一个矩阵维数q*p，第二个矩阵维数p*r，相乘次数为q*p*r；三个矩阵相乘，为前两相乘，再乘第三个，和后两个先相乘，再乘第一个，取其优者；四个矩阵相乘，设第三个矩阵维数r*t，第四个矩阵t*k，维数min{前三个矩阵最优值+q*t*k，前两个矩阵最优+后两个矩阵最优+q*r*k，前一个矩阵最优+后三个矩阵最优+q*p*k}；然后。。。
有人可能会问：我可以算出前一个，前两个，前三个矩阵相乘的最优，但是我怎么算出后一个，后两个，后三个相乘的最优呢？
其实这个问题又回到了原点，这就是动态规划的妙处，显然我们先求出A1到An的任意段长度为2矩阵的最优（直接相乘），然后可以计算出任意段长度为3矩阵的最优；然后。。。然后我们就想了个m[i][j]出来，记录我们求的的结果；然后再写代码，尝试思想的准确性，当然我们更多的时候是站在先人的肩膀上做验证工作。。。
代码如下（参考教科书）：
#include<iostream>
using namespace std;
void chain(int *p,int n,int m[][7],int s[][7])//p维数数组，m最优乘次数组，s记录划分方案
{
int j;
for(int i=1;i<=n;i++)
m[i][i]=0;
for(int r=2;r<=n;r++)
{
for(i=1;i<=n-r+1;i++)
{
j=i+r-1;
m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j]=i;
for(int k=i+1;k<j;k++)
{
int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(t<m[i][j])
{
m[i][j]=t;
s[i][j]=k;
}
}
}
}
for(i=1;i<=n;i++) //我把它翻过来输出。。。
{
for(j=n;j>=i;j--)
{
cout<<m[i][j]<<' ';
}
cout<<endl;
}
}
void Traceback(int i,int j,int s[][7]) //输出相乘方案
{
if(i==j)
return;
Traceback(i,s[i][j],s);
Traceback(s[i][j]+1,j,s);
cout<<"Multiply A "<<i<<","<<s[i][j];
cout<<" and B "<<(s[i][j]+1)<<","<<j<<endl;
return;
}
int main()
{
int p[7],m[7][7],s[7][7],n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
for(int i=0;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&p[i]);
}
chain(p,n,m,s);
Traceback(1,6,s);
}
return 0;
}
/**//*
p52
测试数据：
6
30 35 15 5 10 20 25
*/
运行结果：
posted on 2010-09-04 11:53
jince 阅读(2521)
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算法设计与分析