【实验目的】

学习掌握回溯算法。

 

【实验内容】

用回溯法求解 0 — 1 背包问题，并输出问题的最优解。 0 — 1 背包问题描述如下：

给定 n 种物品和一背包。物品 i 的重量是 Wi ，其价值为 Vi ，背包的容量是 c ，问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。

 

【实验条件】

Microsoft Visual C++ 6.0

 

【需求分析】

对于给定 n 种物品和一背包。在容量最大值固定的情况下，要求装入的物品价值最大化。

 

【设计原理】

一、回溯法：
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。
二、算法框架：
1 、问题的解空间：应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。问题的解空间应到少包含问题的一个（最优）解。
2 、回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。换句话说，这个结点不再是一个活结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：
（ 1 ）针对所给问题，定义问题的解空间；
（ 2 ）确定易于搜索的解空间结构；
（ 3 ）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；
3 、递归回溯：由于回溯法是对解空间的深度优先搜索，因此在一般情况下可用递归函数来实现回溯法。

【概要设计】

0 — 1 背包问题是一个子集选取问题，适合于用子集树表示 0 — 1 背包问题的解空间。在搜索解空间树是，只要其左儿子节点是一个可行结点，搜索就进入左子树，在右子树中有可能包含最优解是才进入右子树搜索。否则将右子树剪去。

int c;// 背包容量

  int n; // 物品数

  int *w;// 物品重量数组

  int *p;// 物品价值数组

  int cw;// 当前重量

  int cp;// 当前价值

  int bestp;// 当前最优值

  int *bestx;// 当前最优解

  int *x;// 当前解

 

int Knap::Bound(int i)// 计算上界

void Knap::Backtrack(int i)// 回溯

 

int Knapsack(int p[],int w[],int c,int n) // 为 Knap::Backtrack 初始化

 

【详细设计】

#include<iostream>

using namespace std;

 

 

 

class Knap

{

friend int Knapsack(int p[],int w[],int c,int n );

 

public:

       void print()

       {

        for(int m=1;m<=n;m++)

   {

    cout<<bestx[m]<<" ";

   }

   cout<<endl;

       };

 

private:

  int Bound(int i);

  void Backtrack(int i);

 

  int c;// 背包容量

  int n; // 物品数

  int *w;// 物品重量数组

  int *p;// 物品价值数组

  int cw;// 当前重量

  int cp;// 当前价值

  int bestp;// 当前最优值

  int *bestx;// 当前最优解

  int *x;// 当前解

 

};

 

 

int Knap::Bound(int i)

{

 // 计算上界

       int cleft=c-cw;// 剩余容量

       int b=cp;

       // 以物品单位重量价值递减序装入物品

       while(i<=n&&w[i]<=cleft)

       {

         cleft-=w[i];

         b+=p[i];

         i++;

       }

       // 装满背包

       if(i<=n)

              b+=p[i]/w[i]*cleft;

       return b;

}

 

 

void Knap::Backtrack(int i)

{

  if(i>n)

  {

    if(bestp<cp)

       {

           for(int j=1;j<=n;j++)

                   bestx[j]=x[j];

           bestp=cp;

       }

       return;

  }

  if(cw+w[i]<=c) // 搜索左子树

  {            

      x[i]=1;

         cw+=w[i];

         cp+=p[i];

         Backtrack(i+1);

         cw-=w[i];

         cp-=p[i];

  }

         if(Bound(i+1)>bestp)// 搜索右子树

         {

             x[i]=0;

                Backtrack(i+1);

         }

 

}

 

 

class Object

{

 friend int Knapsack(int p[],int w[],int c,int n);

public:

       int operator<=(Object a)const

       {

        return (d>=a.d);

       }

private:

       int ID;

       float d;

};

 

 

int Knapsack(int p[],int w[],int c,int n)

{

 // 为 Knap::Backtrack 初始化

       int W=0;

       int P=0;

       int i=1;

       Object *Q=new Object[n];

       for(i=1;i<=n;i++)

       {

        Q[i-1].ID=i;

        Q[i-1].d=1.0*p[i]/w[i];

        P+=p[i];

        W+=w[i];

       }

       if(W<=c)

              return P;// 装入所有物品

       // 依物品单位重量排序

       float f;

       for( i=0;i<n;i++)

        for(int j=i;j<n;j++)

        {

         if(Q[i].d<Q[j].d)

         {

           f=Q[i].d;

              Q[i].d=Q[j].d;

              Q[j].d=f;

         }

 

 

        }

      

       Knap  K;

       K.p = new int[n+1];

    K.w = new int[n+1];

       K.x = new int[n+1];

       K.bestx = new int[n+1];

       K.x[0]=0;

       K.bestx[0]=0;

       for( i=1;i<=n;i++)

       {

        K.p[i]=p[Q[i-1].ID];

        K.w[i]=w[Q[i-1].ID];

       }

       K.cp=0;

       K.cw=0;

       K.c=c;

       K.n=n;

       K.bestp=0;

       // 回溯搜索

       K.Backtrack(1);

    K.print();

    delete [] Q;

       delete [] K.w;

       delete [] K.p;

       return K.bestp;

}

 

void main()

{

       int *p;

       int *w;

    int c=0;

       int n=0;

       int i=0;

 

       cout<<" 请输入背包个数： "<<endl;

    cin>>n;

       p=new int[n+1];

       w=new int[n+1];

       p[0]=0;

       w[0]=0;

 

       cout<<" 请输入个背包的价值： "<<endl;

       for(i=1;i<=n;i++)

              cin>>p[i];

 

       cout<<" 请输入个背包的重量： "<<endl;

       for(i=1;i<=n;i++)

              cin>>w[i];

 

       cout<<" 请输入背包容量： "<<endl;

       cin>>c;

 

       cout<<Knapsack(p,w,c,n)<<endl;

 

      

}