(一)巴什博奕(Bash Game):

只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个.最后取光者得胜.

显然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜.因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=(m+1)r+s,(r为任意自然数,s≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走k(≤m)个,那么先取者再拿走m+1-k个,结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜.总之,要保持给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜.

这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数,每次至少报一个,最多报十个,谁能报到100者胜.

(二)威佐夫博奕(Wythoff Game):

有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜.

这种情况下是颇为复杂的.我们用(ak,bk)(ak ≤ bk ,k=0,1,2,...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势.前几个奇异局势是：(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20).

l         可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k,奇异局势有如下三条性质：

1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中.

由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 .所以性质1.成立.

2、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势.

事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势.如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势.

3、采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势.

假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0)；如果a = ak ,b > bk,那么,取走b - bk个物体,即变为奇异局势；如果 a = ak , b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak – a[b – ak]个物体,变为奇异局势( a[b – ak] , a[b – ak]+ b - ak)；如果a > ak ,b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可；如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj (j < k),从第二堆里面拿走 b - bj 即可；第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走 b - aj 即可.

从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜；反之,则后拿者取胜.

l         那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：

ak =[k(1+√5)/2], bk= ak + k (k=0,1,2,...,n 方括号表示取整函数)

奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1.618...,因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[j(1+√5)/2],那么a = a[j],b[j] = a[j] + j,若不等于,那么a = a[j+1],b[j+1] = a[j+1]+ (j + 1),若都不是,那么就不是奇异局势.然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局势.

得胜.

(三)尼姆博奕(Nimm Game):

有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜.

这种情况最有意思,它与二进制有密切关系,我们用(a,b,c)表示某种局势,首先(0,0,0)显然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败.第二种奇异局势是(0,n,n),只要与对手拿走一样多的物品,最后都将导致(0,0,0).仔细分析一下,(1,2,3)也是奇异局势,无论对手如何拿,接下来都可以变为(0,n,n)的情形.

计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号(+)表示这种运算.这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0.先看(1,2,3)的按位模2加的结果：

1 =二进制01

2 =二进制10

3 =二进制11 (+)

———————

0 =二进制00 (注意不进位)

对于奇异局势(0,n,n)也一样,结果也是0.

任何奇异局势(a,b,c)都有a(+)b(+)c =0.

如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢？假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a(+)b,即可,因为有如下的运算结果: a(+)b(+)(a(+)b)=(a(+)a)(+)(b(+)b)=0(+)0=0.要将c 变为a(+)b,只要从 c中减去 c-(a(+)b)即可.

可以推广到：有n堆若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜.