2009年8月11日 星期二
题目链接：PKU 1077 Eight
分类：bfs,双向bfs,A*
题目分析与算法原型
这道题目是前一阵子做的，一直没有写解题报告，主要是想找个时间好好的总结一下这道题，因为从这道题中收获了很多东西，比方说A*的大体思想，如何设计启发式函数使得其满足A*算法的约束性，还有就是全排列哈希的方式（不存在冲突），以及堆优化时遇到已经标记过的但是当前值更小的情况下如何去更新而不是再次插入（以前的时候我一直都采用的是再次插入，这样子空间的复杂度高起来了）等等........总的来说收获很多，所有需要好好地记录一下
关于此题的A*解法（当然bfs或双向bfs也可以解决），8数码问题经典的启发式函数有两种：比较简单的是difference ( Status a, Status b )， 其返回值是a 和b状态各位置上数字（空格除外）不同的次数。另一种比较经典的是曼哈顿距离 manhattan ( Status a, Status b )，其返回的是各个数字（除却空格）从a的位置到b的位置的最短距离的和。学过A*的都应该知道，若想设计的A*算法能够保证找到最优解，其启发式函数(f(n)=g(n)+h(n) ，其中f(n) 是节点n的估价函数，g(n)实在状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，h(n)是从n到目 标节点最佳路径的估计代价)必须满足两点：1.h(n)<h'(n),h'(n)为从当前节点到目标点的实际的最优代价值。2.每次扩展的节点的f值至少不比父节点的f值小。
我们先来看第一个启发函数，即difference,容易看出此时第一个条件显然满足，关于第二个条件，g( n)以为搜索的深度，所以子节点的g比父节点的g大1，然而，每次将空白位置与周围的某个数字交换后（不算空格），对于交换的这个数字，有两种结果，I.其和目标的位置相同。II.和目标的位置不同，即就是说h最多减少1，或者不变，所以g+h要么不变，要么比原先大1，此时两个条件都满足，因此该启发式函数能保证找到最优解。
再看第二个启发式函数，即 manhattan ，也容易看出其定符合第一个条件，对于第二个条件，因为不算空格，所以每次交换我们只考虑和空格交换的那个数字，可以发现那个数字最多离目标位置前进一个（或者不变，或者后退一个），也就是说h之多减少1个，然而g已经加了1，所以g+h至少和原来的相等，或者更大，这样一来，第二个条件也满足了，由此我们可以发现，这两个启发式函数都可以保证A*找到最优解（关于为什么满足了A*的这两个条件就一定保证能找到最优解，可以去参考一下相应的人工智能的书籍，里面有详细的证明）
还有关于这道题的判重可采用全排列之哈希方式（点此链接）..........
（PS：说起这道题，不得不提一件事，那就是我在写的时候将“des=now[i]-'0'-1;”不小心写成了“des=now[i]-1”，拜托，两个值整整差了48啊，而且我是将他作为D数组的一个下标，我的D数组才定义了D[10][10],这样你会发现显然已经数组越界了，然后神奇的事情居然就发生了，这样子居然........AC了!!!!!!!!!，orz............真不知道是不是偶的RP太好了，这样子能A掉，想想很不可思议，也正因为如此，使得我的程序当时出现了一个异常诡异的地方，这个诡异的地方说起来有点麻烦就不多说了，反正我一直都没找出是怎么回事，后来才发现这个致命的笔误，再次膜拜自己，居然这样子都能过，狂晕啊，RP太好了点吧.........,而且改这个错误之前的程序跑的是150ms左右，改了后就能跑到0ms了，很想不通，这个错误居然还能影响时间........orz.......orz........orz..........
总结：RP的力量果然很强大，所以偶们都需要好好积攒RP，适当的时候说不定能创造奇迹.........）
Code：
1
#include<stdio.h>
2#include<string.h>
3#include<math.h>
4#include<time.h>
5#include<stdlib.h>
6#define max 365000
7
8
char beg[12],end[12],pace[9][5]=
{"dr","dlr","dl","udr","udlr","udl","ur","ulr","ul"},cz[max],ss[50];
9int count,pp,mincost[max],fm[max],place[max],jc[8]={1,2,6,24,120,720,5040,40320},D[10][10];
10int a[9][2]={{0,0},{1,0},{2,0},{0,-1},{1,-1},{2,-1},{0,-2},{1,-2},{2,-2}},goal;
11bool flag[max];
12
13struct node
14{
15
int pos,g,h,num;
16 char s[10];
17
}queue[max];
18void down_min_heap(int n,int h)//n表示堆元素的个数，从0开始编号,从h开始往下调整
19{
20 int i=h,j=2*i+1;
21 node temp=queue[i];
22 while(j<n)
23
{
24 if(j<n-1&&queue[j].g+queue[j].h>queue[j+1].g+queue[j+1].h)j++;//若右孩子存在，且右孩子比较小，取右
25 if(temp.g+temp.h<queue[j].g+queue[j].h)break;
26 else
27 {
28 place[queue[j].num]=i;
29 queue[i]=queue[j];
30 i=j;
31 j=2*i+1;
32
}
33 }
34 queue[i]=temp;
35 place[temp.num]=i;
36}
37void up_min_heap(int s)
38{
39 while (s>0&&queue[s].g+queue[s].h<queue[(s-1)/2].g+queue[(s-1)/2].h) //从s开始往上调整
40 {
41 place[queue[s].num]=(s-1)/2;
42 place[queue[(s-1)/2].num]=s;
43 node tt=queue[s];
44 queue[s]=queue[(s-1)/2];
45 queue[(s-1)/2]=tt;
46 s=(s-1)/2;
47 }
48}
49node pop()
50{
51 node res=queue[0];
52 queue[0]=queue[count-1];
53 place[queue[count-1].num]=0;
54 count--;
55 down_min_heap(count,0);
56 return res;
57}
58void push(node x)
59{
60 queue[count]=x;
61 place[x.num]=count;
62 count++;
63 up_min_heap(count-1);
64}
65int cal(char s[]) //计算全排列的哈希值（唯一对应）
66{
67 int i,j,cnt,res=0;
68 for(i=1;i<9;i++)
69 {
70 cnt=0;
71 for(j=0;j<i;j++)if(s[j]>s[i])cnt++;
72 cnt*=jc[i-1];
73 res+=cnt;
74 }
75 return res;
76}
77int dist(int now ,int des)//计算两个位置之间的最小步数
78{
79 int px=(int)(fabs(a[now][0]-a[des][0])),py=(int)(fabs(a[now][1]-a[des][1]));
80 return px+py;
81}
82
83//启发函数采用曼哈顿距离，即从当前状态下的每个数字（空格除开），分别到目标状态下相应数字的最小步数之和
84
85int estimate(char now[])
86{
87 int res=0,i,des;
88 for(i=0;i<9;i++)
89 {
90 if(now[i]!='0')
91 {
92 des=now[i]-'0'-1;
93 res+=D[i][des];
94 }
95 }
96 return res;
97}
98int change(char s[],char op,int pos) //互换位置，返回换后的空格位置
99{
100 int end;
101 switch(op)
102 {
103 case 'u':end=pos-3;break;
104 case 'd':end=pos+3;break;
105 case 'l':end=pos-1;break;
106 case 'r':end=pos+1;break;
107 }
108 char mid=s[pos];
109 s[pos]=s[end];
110 s[end]=mid;
111 return end;/**////返回调整后空格的位置
112}
113void bfs(char beg[],char end[])
114{
115 int i,num;
116 queue[0].pos=pp;
117 queue[0].g=0;
118 queue[0].h=estimate(beg);
119 num=cal(beg);
120 queue[0].num=num;
121 strcpy(queue[0].s,beg);
122 count=1;
123
124 flag[num]=true;
125 cz[num]='*';
126 fm[num]=-1;
127 place[num]=0;
128 mincost[num]=queue[0].h;
129 while(count>0)
130 {
131 node tt=pop();
132 place[tt.num]=count;
133 if(tt.num==goal)
134 {
135 char ans[1000];
136 int k=0,fp;
137 fp=tt.num;
138 while(fp!=num)
139 {
140 ans[k++]=cz[fp];
141 fp=fm[fp];
142 }
143 int jj;
144 for(jj=k-1;jj>=0;jj--)printf("%c",ans[jj]);
145 printf("\n");
146 return;
147 }
148 int len=strlen(pace[tt.pos]);
149 for(i=0;i<len;i++)
150 {
151 node x=tt;
152 x.pos=change(x.s,pace[tt.pos][i],x.pos);
153 int k=cal(x.s);
154 x.num=k;
155 x.g++;
156 x.h=estimate(x.s);
157 if(!flag[k])
158 {
159 flag[k]=true;
160 mincost[k]=x.g+x.h;
161 fm[k]=tt.num;
162 cz[k]=pace[tt.pos][i];
163 push(x);
164 }
165 else if(flag[k]&&x.g+x.h<mincost[k])
166 {
167 mincost[k]=x.g+x.h;
168 fm[k]=tt.num;
169 cz[k]=pace[tt.pos][i];
170 queue[place[k]]=x;
171 up_min_heap(place[k]);
172 }
173 }
174 }
175}
176bool check(char beg[])//检测目标状态是否可达
177{
178 int i,j,cnt,res=0;
179 for(i=1;i<9;i++)
180 {
181 cnt=0;
182 for(j=0;j<i;j++)if(beg[j]>beg[i])cnt++;
183 res+=cnt;
184 }
185 for(i=0;i<9;i++)
186 {
187 if(beg[i]=='0')
188 {
189 res+=D[i][8];
190 break;
191 }
192 }
193 if((res%2)==0)return true;
194 else return false;
195}
196int main()
197{
198 int i,j;
199 strcpy(end,"123456780");
200 goal=cal(end);
201
202 for(i=0;i<9;i++)
203 for(j=0;j<9;j++)D[i][j]=dist(i,j);
204 while(gets(ss))
205 {
206 int len=strlen(ss),pos=0;
207 memset(flag,false,sizeof(flag));
208 for(i=0;i<len;i++)
209 {
210 if(ss[i]=='x')//空格部分用0代替
211 {
212 pp=pos;
213 beg[pos++]='0';
214 }
215 else if(ss[i]>='1'&&ss[i]<='8')beg[pos++]=ss[i];
216 }
217 beg[9]='\0';
218 if(!check(beg))printf("unsolvable\n");
219 else bfs(beg,end);
220 }
221 return 1;
222}
223