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在3D中，平面是到两个点的距离相等的点的集合。平面完全是平的，没有厚度，且无限延伸。
平面方程 ---- 隐式定义
可以用类似于定义直线的方法来定义平面，平面的隐式定义由所有满足平面方程的点p=(x, y, z)给出，平面方程的两种记法如公式12.11所示:
ax + by + cz = d
p . n = d
公式12.11 平面方程
注意第二种形式中，n = [a, b, c]。一旦知道n，就能用任意已知的平面上的点来计算d。
向量n也称作平面的法向量，因为它垂直于平面。让我们来验证它，设p和q都在平面上，满足平面方程。将p、q代入式12.11，即有：
最后一行点乘的几何意义就是n垂直于从q到p的向量，这对于平面上的任意p、q点都是成立的，因此n垂直于平面上的任意向量。
我们还假设平面有"正面"和"反面"。一般来说，n指向的方向是平面的正面（front side）。即从n的头向尾看，我们看见的是正面，如图12.13所示：
将n限制为单位长度并不会失去一般性，而且通常会给计算带来方便。
用三个点定义
另一种定义平面的方法是给出平面上不共线的三个点，也就是说，这三个点不在一条直线上。（如果三个点在一条直线上，就存在无数多个平面包含这条直线，这样也就无法说明我们指的是哪个平面了。）
让我们通过平面上的三个点p1、p2和p3来计算n和d。先计算n，n指向什么方向呢？左手坐标系中的惯例是：当从平面的正面看时，p1、p2和p3以顺时针方向列出。（右手坐标系中，经常假设这些点以逆时针方向列出，这样不管使用哪种坐标系公式，结果都是相同的。）
图12.14展示了使用平面上的三个点计算平面的法线向量的情况。
我们按顺时针方向构造两个向量（如图12.14所示），"e"代表"边（edge）"向量，因为这个公式经常用来计算三角形代表的平面。这两个向量叉乘的结果就是n，但可能不是单位向量，但我们可以单位化n，以上所有过程用公式12.12来简介地概括：
注意，如果这些点共线，则e3与e1平行。这样叉乘为0，不能单位化。这个数学上的特例与物理特例相吻合：共线点不能唯一地定义一个平面。
现在知道了n，剩下的就是求d，可以由某个点与n点乘获得。
多于三个点的"最佳"平面
有时，我们希望从一组三个以上的点集求出平面方程，这种点集最常见的例子就是多边形顶点。在这种情况下，这些顶点绕多边形顺指针地列出。（顺序很重要，因为要依据它决定哪边是"正面"哪边是"反面"。）
一种糟糕的方式是任选三个连续的点并用这三个点计算平面方程。毕竟所选的三个点可能共线，或接近共线。因为数值精度的问题，这将非常糟糕。或者，多边形可能是凹的，所选的点恰好在凹处，从而构成了逆时针（将导致法向量方向错误）。又或者，多边形上的顶点可能不是共面的，这可能是由数值上的不精确，或错误的生成多边形的方法所引起的。我们真正想要的是从点集中求出"最佳"平面的方法，该平面综合考虑了所有的点。设给定n个点：
如果我们限制n必须为单位向量，则这个向量必须单位化。
求和符号能使公式12.13更简洁些，设pn+1 = p1，则有：
如下代码展示了怎样从点集中求出最佳法向量：
Listing 12.2: Computing the best-fit plane normal for a set of points
Vector3 computeBestFitNormal(const Vector3 v[], int n)
{
// Zero out sum
Vector3 result = kZeroVector;
// Start with the "previous" vertex as the last one.
// This avoids an if-statement in the loop
const Vector3 *p = &v[n–1];
// Iterate through the vertices
for (int i = 0 ; i < n ; ++i)
{
// Get shortcut to the "current" vertex
const Vector3 *c = &v[i];
// Add in edge vector products appropriately
result.x += (p–>z + c–>z) * (p–>y – c–>y);
result.y += (p–>x + c–>x) * (p–>z – c–>z);
result.z += (p–>y + c–>y) * (p–>x – c–>x);
// Next vertex, please
p = c;
}
// Normalize the result and return it
result.normalize();
return result;
}
最佳d值为每个点对应的d的平均值：
点到平面的距离
设想一个平面和一个不在平面上的点q，平面上存在一个点p，它到q的距离最短。很明显，从p到q的向量垂直于平面，且形式为an。如图12.15所示：
假设n为单位向量，那么p到q的距离（也就是q到平面的距离）就是a了。（如果q在平面的反面，这个距离为负。）令人惊奇的是，不用知道p的位置就能计算出a。让我们回顾q的原定义，并做一些向量计算以消掉p，如公式12.14所示：
