AABB与平面的相交性检测
考虑3D中由极值点pmin和pmax定义的AABB和以标准方式定义的平面：p
. n = d，其中n为单位向量，平面与AABB必须处于相同的坐标系中。
一种简单的静态测试方法是，计算矩形边界框顶点和n的点积，通过比较点积和d，来检测边界框的顶点是否完全在平面的一边，或是在另外一边。如果所有点积都大于d，那么整个边界框就在平面的正面所指的一侧；如果所有的点积都小于d，那么整个边界框就在平面的反面所指的一侧。
实际上，不需要检测全部的8个顶点，可以用和变换AABB类似的技巧，例如，如果nx
> 0，点积最小的顶点是x = xmin，点积最大的顶点是x= xmax。如果nx
< 0，则得出的是相反的结论。对ny、nz也有同样的结论。我们计算最小和最大点积的值，如果最小点积大于d或最大点积小于d，说明它们不相交；否则，两个点在平面的两边，说明边界框与平面相交。
接下来进行动态测试，我们假设平面是静止的（以一个移动物体为参考来考虑它们的相交性检测会比较简单）。边界框的位移由单位向量d和长度L定义，和前面一样，先求得点积最大和最小的顶点，并在t=0时作一次相交性检测，如果边界框和平面最初没有相交，那么一定是离平面最近的顶点先接触平面，它可能就是前一步检测出的两个顶点之一。如果只对与平面的"正面"碰撞感兴趣，那么总是使用点积最小的顶点。一旦检测出先接触到平面的顶点，就可以利用射线与平面的相交性测试来解决问题。
cAABB3类实现了AABB与平面的静态、动态相交性检测。
三个平面间的相交性检测
在3D中，三个平面相交于一点，如图13.7所示:
假设三个平面的隐式方程为：
p . n1 = d1
p . n2 = d2
p . n3 = d3
虽然平面的法向量通常被限制为单位向量，但此时这种限制是没有必要的。上面的等式组成了一个有三个方程和三个未知数（交点的x、y、z坐标）的线性方程组。解这个方程组能得到如公式13.7所示的结果：
如果任意一对平面平行，那么交点要么不存在，要么不唯一，在这种情况下，公式13.7的分母都为0。
射线和圆/球的相交性检测
这里将讨论2D中射线和圆的相交性检测，检测的方法也适用于3D中射线和球之间的相交性检测，这是因为可以在包含射线和球心的平面中进行检测，从而将3D问题转化为2D问题。（如果射线包含在穿过球心的直线上，那么这个平面就不是唯一的。但这并不是问题，在这种情况下我们能使用任意包含射线和球心的平面来进行计算。）
构图方法见13.8 :
用圆心c和半径r来定义球，射线的定义为：p(t)
= p0 + td
这里，d为单位向量，t从0变化到L，L为射线长度。所要求的是交点处t的值：
t = a - f
a的计算方法如下，设e为从p0指向c的向量:
e = c - p0
现在将e投影到d，这个向量的长度为a，它的计算式为：
a = e . d
两个圆/球的相交性检测
两个球的静态测试是相对比较简单的（这里的讨论对圆也适用，事实上，图13.9中用的就是圆）。考虑由球心c1、c2和半径r1、r2定义的两个球（如图13.9所示）。设d为球心间的距离，很明显，当d
< r1 + r2时它们相交。在实践中通过比较d2
< (r1 + r2)2，可以避免包括计算d在内的平方根运算。
对两个运动的球进行相交性检测要麻烦一些。假设有两个单独的位移向量d1和d2，球与位移向量是一一对应的，它们描述了在所讨论的时间段中球的运动方式。如图13.10所示:
从第一个球的角度来看能够简化这个问题，现在假设这个球是"静止的"，另一个球是"运动"的。这给出了单一的位移向量d，它等于原位移向量d2和d1的差d2
- d1，如图13.11所示：
设静止球由球心cs和半径rs定义。运动球的半径为rm，当t=0时，球心为cm。t不再从0变化到1，而是将d单位化，t的取值范围从0到L，L是移动的距离。所以在t时刻运动球的球心为cm
+ td，所要求的是当运动球接触静止球时的t。其中的几何关系如图13.12所示：
这里有一些重要的注意事项：
（1）如果||e|| < r，则球在t=0时就相交。
（2）如果t<0或t>L，那么在所讨论的时间段内两个球不会发生接触。
（3）如果根号内的值是负的，那么两个球不会相交。
球和AABB的相交性检测
为了进行球和AABB的静态相交性检测，首先找到AABB中距球心最近的顶点。计算该点到球心的距离，并和球的半径比较（实际上，比较的是距离的平方和半径的平方，以避免平方根运算）。如果距离小于半径，那么球和AABB相交。