转自：http://www.doforfun.net/article/20090504/543.htm
经常有初学者询问求解N内所有素数（质数）的问题，对此，网上的解答也很多，但很多要么不够专业，要么只有程序没有算法解析，所以三藏大厦对此问题做个小结，探讨一下求解素数的常见算法，同时给出相应的C语言程序及其解析。为了方便初学者理解，本文将从易到难阐述不同算法，高手可以直接看后面的高效算法
质数的定义
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，又称素数。
试除判断法
算法描述：从上述定义可知，素数不能被1和它本身之外的数整除，所以，判断一个数x是否素数只要看它是否能被2~sqrt(x)间的数整除即可；而求N内所有素数则是循环重复上述过程。
C语言实现：
#include <time.h>
#include <malloc.h>
#define N 100000
// 简单试除判断法 Ver1
int SimpleDivisionV1(int n)
{
int i,j;
// 素数数量统计
int count = 0;
// 分配存放结果的空间
int* primes = (int*)malloc( sizeof(int)*n );
// 2是素数谁都知道，不算了
primes[count++] = 2;
// 循环计算3~n间的数
for (i=3; i<=n; i++)
{
// 为什么是sqrt(i)，思考一下
for (j=2; j<=sqrt(i); j++)
{
// i被j整除，显然不是素数了
if (i%j == 0) break;
}
// i不能被2~sqrt(i)间的数整除,素数也
if (j > sqrt(i))
{
primes[count++] = i;
}
}
// 因输出费时，且和算法核心相关不大，故略
// 释放内存，别忘了传说中的内存泄漏
free(primes);
return count;
}
void main()
{
int count;
clock_t start, end;
// time函数不够精确，用clock凑合一下吧
start = clock();
count = SimpleDivisionV1(N);
end = clock();
printf("[%d]以内素数个数：%d, 计算用时：%d毫秒\n", N, count, end-start);
getch();
}
计算结果：
[100000]以内素数个数：9592, 计算用时：468毫秒
[1000000]以内素数个数：78498, 计算用时：10859毫秒
[5000000]以内素数个数：348513, 计算用时：103560毫秒
噢噢，算算十万还行，百万就10秒多了，而且时间增长很快，这不行，得优化一下！
优化分析：
仔细研究一下SimpleDivisionV1我们可以发现以下几个问题：
- 在循环条件中重复调用sqrt(i)显然是比较浪费时间的
- 判断素数，真的需要拿2~sqrt(i)间的所有整数去除吗？我们知道，合数都可以分解成若干质数，所以只要2~sqrt(i)间的质数不能整除i即可
根据上面两点，我们可将SimpleDivisionV1升级为SimpleDivisionV2，如下
// 简单试除判断法 Ver2
int SimpleDivisionV2(int n)
{
int i, j, k, stop;
// 素数数量统计
int count = 0;
// 分配存放结果的空间
int* primes = (int*)malloc( sizeof(int)*n );
// 2是素数谁都知道，不算了
primes[count++] = 2;
stop = count;
// 循环计算3~n间的数
for (i=3; i<=n; i++)
{
k = sqrt(i);
// 在循环条件中重复调用sqrt是低效做法，故引入k
while (primes[stop] <= k && stop < count)
stop++;
// stop干什么用，思考一下
for (j=0; j<stop; j++)
{
if (i%primes[j] == 0) break;
}
// i不能被2~sqrt(i)间的素数整除，自然也不能被其他数整除,素数也
if (j == stop)
{
primes[count++] = i;
}
}
// 因输出费时，且和算法核心相关不大，故略
// 释放内存，别忘了传说中的内存泄漏
free(primes);
return count;
}
然后将main中调用的函数替换为SimpleDivisionV2，在看一下执行结果：
[100000]以内素数个数：9592, 计算用时：46毫秒
[1000000]以内素数个数：78498, 计算用时：546毫秒
[5000000]以内素数个数：348513, 计算用时：3515毫秒
[10000000]以内素数个数：664579, 计算用时：8000毫秒
很开心的看到，经过优化，速度提高了几十倍，尤其是时间增长曲线的坡度变小了，N值越大，V2函数比V1的效率就越高
对于试除判断这种质数算法来说，三藏认为SimpleDivisionV2基本已经接近极限，不大可能有量级上的突破了，有兴趣的朋友可以自己进一步优化。初学者除了参看上述例子外，可以尝试做各种修改及细节优化，也可以将除法变乘法，多加练习是学习编程的好方法。
虽然，上例中V2已经比V1快了很多了，但随着N的增大，耗时还是不少，那么我们还有更好的方法吗？