定理：令K[x]是由次数小于8、系数为0或1的多项式组成的环，m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1为不可约多项式，则K[x]/(m(x))（模m(x)剩余类环）同构于元素个数为256的有限域F
证明：
1. 构造映射H: P->Z，P表示K[x]中的多项式，Z表示小于256的非负整数，定义函数h(p)=z(mod 256)。显然H为双射；依初等数论同余性质有h(p1+p2)=(z1+z2)mod 256=z1(mod 256)+z2(mod 256)=h(p1)+h(p2)，h(p1*p2)=z1*z2(mod 256)=z1(mod 256)*z2(mod 256)=h(p1)*h(p2)，故H保持加法乘法封闭性。这点保证支持任意明文/密文的运算
2. 由一元多项式环的性质得多项式乘法可以交换，即f(x)•g(x)=g(x)•f(x)，满足域的交换条件。其乘法单位元是常数项1，满足域的单位元条件
3. 因非零多项式f(x)与m(x)互素，由一元多项式环的互素定理知存在g(x)、k(x)使得f(x)•g(x)+m(x)•k(x)=1(系数模2)，即f(x)•g(x)模m(x)余1（这里1表示单位元），故f(x)存在逆元，由群定义知逆元必唯一，满足域的逆元条件。另aes规定零多项式的逆元为其自身。这点保证s盒及列混合操作可逆
posted on 2023-09-06 22:22
春秋十二月 阅读(1412)
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