Posted on 2007-04-20 09:54
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习题一 P:25
1/(1)解:D=a1A11+a2A12+a3A13=1×(-1)2M11+2×(-1)3M12+0
=4+(-2)×4=-4
(2)解:D=a1A11+a2A12+a3A13=1×(-1)2M11+2×(-1)3M12+2×(-1)4M13=-3+(-12)+(-12)=-27
2/(1)解:D=a1A11+a2A12+a3A13+a4A14=0+0+0+4×(-1)5M14=256
(2)解:D=a1A11+a2A12+a3A13+a4A14=1×(-1)2M11+2×(-1)3M12+3×(-1)4M13+4×(-1)5M14=(-36)+8+12+176=160
r3+r2 5 0 4 2
(3)解:D 1 -1 2 1 =b2B22
r4+r2 5 0 4 1
2 0 3 2
=(-1)×(-1)4M22=-7
r2+r1 -1 1 1 1
(7)解:D 0 0 2 2 =b1B11
r3+r1 0 2 0 2
r4+r1 0 2 2 0
=(-1)×(-1)2M11=-16
5 0 4 2 r3+r2 5 0 4 2
4/(1)解:因为D= 1 –1 2 1 1 –1 2 1 =b2B22
4 1 2 0 r4+r2 5 0 4 1
1 1 1 1 2 0 3 2
=(-1)×(-1)4M22=-7≠0
所以方程有惟一的解,再计算得:
D1=-7,D2=7,D3=7,D4=-7
因此,根据克拉默法则,方程组的惟一解是:
X1=1,X2=-1,X3=-1,X4=1
6.解:由推论知,它的系数行列式必为零,而
1 -1 1
D= 2 λ 2-λ =(λ+2)(λ-2)
1 λ+1 0
由D=0,得λ1=-2,λ2=1
习题二 P:54
3/(1) 1 0 -2 1 -1 1
解:= 2 0 + -3 -1 = -1 -1
3 0 1 0 4 0
(2) 2 -2 6 3 1 0 -3 -5
解:= 4 2 - 3 9 + 0 1 = 1 -6
(4) 1 0 0 1 0 0
解:= 0 1 0 + 0 1 0 =E3
0 0 1 0 0 1
(6) 4 0 0 0 4 0 0 0
解:= 0 4 0 0 0 4 0 0 =16E4
0 0 4 0 0 0 4 0
0 0 0 4 0 0 0 4
9、解: 3 1 1 1 1 1 6 2 4
AB= 2 1 2 2 -1 0 = 6 1 4
1 2 3 1 0 1 8 -1 4
1 1 1 3 1 1 6 4 6
BA= 2 -1 0 2 1 2 = 4 1 0
1 0 1 1 2 3 4 3 4
所以: 0 -2 -2
AB-BA= 2 0 4
4 -4 0
-1 3 1 4 1 2 -1 82 31
13、解:ABC= 0 4 2 2 5 4 2 =140 42
3 4
82 140
所以:ABCT= 31 42
3 -2 2
15/(1)解:设A= 5 -4 1 则,
1 -1 0
detA=2×(-4)×1+3×1×(-1)-(-2)×1×1-2×5×(-1)=1≠0
所以,A-1=1/detA ×A* A11 A21 A31
A*= A12 A22 A32
A13 A23 A33
-4 1
A11=(-1)2 -1 0 =-1;同理得:
A12=-1;A13=1;A21=2;A22=2;A23=-1;
A31=-6;A32=-7;A33=2
-1 2 -6
所以,A*= -1 2 -7
1 -1 2 -1 2 -6
即A-1=1/detA ×A*= -1 2 -7
1 -1 2
2 1 -3 2
16/(2)解:令,A= 3 2 ,B= 5 -3
2 -1 3 2
根据上题的解法求得,A-1= -3 2 ,B-1= 5 3
2 -1 -2 4 3 2 24 13
有题意得: X= -3 2 3 -1 5 3 = -34 -18
5 2 1
18/(2)解:有题意得:X= 0 1 5 =1
2 5 1 4 2 3 2 2 5
Y= 3 0 5 =2 Z= 3 1 0 = -1
3 4 3 3 2 4
所以,X=1,Y=2,Z= -1
习题三P78
5/(1)解:令A= 2 5
1 3
2 5 r1-r2 1 2 r2-r1 1 2 r1-2r2 1 0
1 3 1 3 0 1 0 1
1 0 r1-r2 1 -1 r2-r1 1 -1 r1-2r2 3 -5
所以A-1= 0 1 0 1 -1 2 -1 2
4 -6 3 -5 4 -6 2 -23
所以,X=A-1 2 1 = -1 2 2 1 = 0 8
6.解:由AX=2X+A得,(A-2)X=A;
1 -1 0 -1 -1 0
A-2= 0 1 -1 -2= 0 -1 -1 =B
-1 0 1 -1 0 -1
detB=2≠0
B11 B21 B31
B-1=1/detB B12 B22 B32
B13 B23 B33
B11=(-1)2 -1 -1 =-1,同理解得:B12=-1,B13=1,B21=1,
0 -1 B22=-1,B23=-1,B31=-1,B32=1,B33=-1。
-1 1 -1
B-1=1/2 -1 -1 1
1 -1 -1
-1 1 -1 1 -1 0 0 1 -1
所以X=1/2 -1 -1 1 0 1 -1 = -1 0 1
1 -1 -1 -1 0 1 1 -1 0
2 0 3 1 4
9.解:令A= 3 -5 4 2 7
1 5 2 0 1
先把A化为行阶梯形。
2 0 3 1 4 r2-3/2r1 2 0 3 1 4
A= 3 -5 4 2 7 0 -5 -1/2 1/2 1
1 5 2 0 1 r3-1/2r1 0 5 1/2 -1/2 -1
r3+r2 2 0 3 1 4
0 -5 -1/2 1/2 1
0 0 0 0 0
因此R(A)=2.
再求A的一个最高阶非零子式。由R(A)=2,知A的最高阶非零子式为二阶子式。从A的行阶梯形可知,A的第1、3、5三列所构成的矩阵A1=(a1,a3,a5)的行阶梯形为
2 3 4 r2-3/2r1 2 3 4
A1=(a1,a3,a5) 3 4 7 0 -1/2 1
1 2 1 r3-1/2r1 0 1 -2
r3+2r2 2 3 4
0 -1/2 1
0 0 0
知R(A1)=2,故A1中必有二阶非零子式,从中找出一个非零子式。经检验可知其前二行所构成的二阶子式
2 3 =1≠0,
3 4
它即是A的一个最高阶非零子式。