Posted on 2007-04-20 09:54
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习题一 P：25
1/（1）解：D＝a1A11+a2A12+a3A13＝1×(-1)2M11+2×(-1)3M12+0
＝4+(-2)×4＝-4
(2)解：D＝a1A11+a2A12+a3A13＝1×(-1)2M11+2×(-1)3M12+2×(-1)4M13＝-3+（-12）+（-12）＝-27
2/（1）解：D＝a1A11+a2A12+a3A13+a4A14＝0+0+0+4×(-1)5M14＝256
（2）解：D＝a1A11+a2A12+a3A13+a4A14＝1×(-1)2M11+2×(-1)3M12+3×(-1)4M13+4×(-1)5M14＝（-36）+8+12+176＝160
r3+r2 5 0 4 2
（3）解：D 1 -1 2 1 ＝b2B22
r4＋r2 5 0 4 1
2 0 3 2
＝（-1）×（-1）4M22＝-7
r2+r1 -1 1 1 1
（7）解：D 0 0 2 2 ＝ｂ１B１１
r3+r1 0 2 0 2
r4+r1 0 2 2 0
＝（-１）×（-1）２M１１＝-16
5 0 4 2 r3+r2 5 0 4 2
４/（１）解：因为D＝ 1 –1 2 1 1 –1 2 1 ＝b2B22
4 1 2 0 r4+r2 5 0 4 1
1 1 1 1 2 0 3 2
＝（-1）×（-1）4M22＝-7≠0
所以方程有惟一的解，再计算得：
D1＝-7，D2＝7，D3＝7，D4＝-7
因此，根据克拉默法则，方程组的惟一解是：
X1＝1，X2＝-1，X3＝-1，X4＝1
6．解：由推论知，它的系数行列式必为零，而
1 -1 1
D＝ 2 λ 2－λ ＝（λ＋2）（λ－2）
1 λ＋1 0
由D＝0，得λ1＝-2，λ2＝1
习题二 P：54
3/（1） 1 0 -2 1 -1 1
解：＝ 2 0 ＋ -3 -1 ＝ -1 -1
3 0 1 0 4 0
（2） 2 -2 6 3 1 0 -3 -5
解：＝ 4 2 － 3 9 ＋ 0 1 ＝ 1 -6
（4） 1 0 0 1 0 0
解：＝ 0 1 0 ＋ 0 1 0 ＝E3
0 0 1 0 0 1
(6) 4 0 0 0 4 0 0 0
解：＝ 0 4 0 0 0 4 0 0 ＝16E4
0 0 4 0 0 0 4 0
0 0 0 4 0 0 0 4
9、解： 3 1 1 1 1 1 6 2 4
AB= 2 1 2 2 -1 0 ＝ 6 1 4
1 2 3 1 0 1 8 -1 4
1 1 1 3 1 1 6 4 6
BA＝ 2 -1 0 2 1 2 ＝ 4 1 0
1 0 1 1 2 3 4 3 4
所以： 0 -2 -2
AB－BA＝ 2 0 4
4 -4 0
-1 3 1 4 1 2 -1 82 31
13、解：ABC＝ 0 4 2 2 5 4 2 ＝140 42
3 4
82 140
所以：ABCT＝ 31 42
3 -2 2
15/（1）解：设A＝ 5 -4 1 则，
1 -1 0
detA＝2×（-4）×1+3×1×（-1）－（-2）×1×1－2×5×（-1）＝1≠0
所以，A-1＝1/detA ×A* A11 A21 A31
A*= A12 A22 A32
A13 A23 A33
-4 1
A11=(-1)2 -1 0 =-1;同理得：
A12＝-1；A13＝1；A21＝2；A22＝2；A23＝-1；
A31＝-6；A32＝-7；A33＝2
-1 2 -6
所以，A*= -1 2 -7
1 -1 2 -1 2 -6
即A-1＝1/detA ×A*＝ -1 2 -7
1 -1 2
2 1 -3 2
16/（2）解：令，A＝ 3 2 ，B＝ 5 -3
2 -1 3 2
根据上题的解法求得，A-1= -3 2 ,B-1= 5 3
2 -1 -2 4 3 2 24 13
有题意得: X= -3 2 3 -1 5 3 = -34 -18
5 2 1
18/(2)解：有题意得：X＝ 0 1 5 ＝1
2 5 1 4 2 3 2 2 5
Y= 3 0 5 =2 Z= 3 1 0 = -1
3 4 3 3 2 4
所以，X=1,Y=2,Z= -1
习题三P78
5/(1)解：令A＝ 2 5
1 3
2 5 r1－r2 1 2 r2－r1 1 2 r1－2r2 1 0
1 3 1 3 0 1 0 1
1 0 r1－r2 1 -1 r2－r1 1 -1 r1－2r2 3 -5
所以A-1＝ 0 1 0 1 -1 2 -1 2
4 -6 3 -5 4 -6 2 -23
所以，X＝A-1 2 1 ＝ -1 2 2 1 ＝ 0 8
6.解：由AX=2X+A得，（A－2）X＝A；
1 -1 0 -1 -1 0
A－2＝ 0 1 -1 －2＝ 0 -1 -1 ＝B
-1 0 1 -1 0 -1
detB=2≠0
B11 B21 B31
B-1＝1/detB B12 B22 B32
B13 B23 B33
B11=(-1)2 -1 -1 =-1，同理解得：B12＝-1，B13＝1，B21＝1，
0 -1 B22＝-1，B23＝-1，B31＝-1，B32＝1，B33＝-1。
-1 1 -1
B-1＝1/2 -1 -1 1
1 -1 -1
-1 1 -1 1 -1 0 0 1 -1
所以X＝1/2 -1 -1 1 0 1 -1 ＝ -1 0 1
1 -1 -1 -1 0 1 1 -1 0
2 0 3 1 4
9.解：令A＝ 3 -5 4 2 7
1 5 2 0 1
先把A化为行阶梯形。
2 0 3 1 4 r2－3/2r1 2 0 3 1 4
A＝ 3 -5 4 2 7 0 -5 -1/2 1/2 1
1 5 2 0 1 r3－1/2r1 0 5 1/2 -1/2 -1
r3+r2 2 0 3 1 4
0 -5 -1/2 1/2 1
0 0 0 0 0
因此R（A）＝2.
再求A的一个最高阶非零子式。由R（A）＝2，知A的最高阶非零子式为二阶子式。从A的行阶梯形可知，A的第1、3、5三列所构成的矩阵A1＝（a1，a3，a5）的行阶梯形为
2 3 4 r2－3/2r1 2 3 4
A1＝（a1，a3，a5） 3 4 7 0 -1/2 1
1 2 1 r3－1/2r1 0 1 -2
r3＋2r2 2 3 4
0 -1/2 1
0 0 0
知R（A1）＝2，故A1中必有二阶非零子式，从中找出一个非零子式。经检验可知其前二行所构成的二阶子式
2 3 ＝1≠0，
3 4
它即是A的一个最高阶非零子式。