计算几何初步认识

——Wjx昨晚给我速成的计算几何

一、点。

l        点的坐标A(x1, y1)，B(x2, y2)

二、向量。

l        向量AB = (x2-x1, y2-y1) = (x3,y3) ，CD = (x4, y4)。

l        向量的模|AB| = sqrt(x3*x3 + y3*y3) 即向量的长度。

三、点积。

l        点积的结果为一个数值。

l        数值计算方法AB * CD ＝ x3*x4 + y3*y4。

l        几何意义AB * CD = |AB| * |CD| * cos(a)，a为向量AB逆时针转向CD的角度，0<=a<360，也可以认为是两向量的夹角，0<=a<=180。一般用于求夹角，a = acos( (AB * CD) / (|AB| * |CD|) )。也可：|CD| * cos(a) = AB * CD / |AB|，即向量CD在AB上的投影。

四、叉积。

l        叉积的结果为一个向量。

l        AB×CD数值= x3*y4 – x4*y3。

l        方向由右手螺旋定则判定。

l        几何意义：AB×CD = |AB| * |CD| * sin(a)，取绝对值即是以AB和CD为边的平行四边形面积。

五、线段相交的判定（判定线段AB和线段CD是否相交，属于哪种相交）。

l        规范相交：交点只有一个，且不是线段的端点。

1、充要条件：点A和点B在CD的两侧并且点C和点D在AB的两侧。

2、如何判断点A在向量CD的左侧还是右侧：CA×CD的数值大于0则左侧，小于0则右侧。于是CA×CD的数值和CB×CD的数值异号，点A和点B在CD的两侧，同理可判断点C和点D是否在AB的两侧（注意，必须严格异号）。

l        不规范相交：交点为某个线段的端点，甚至两线段有一段重合。

1、充要条件，一条线段的一个端点在另一条线段上。即A在CD上或B在CD上或C在AB上或D在AB上。

2、A在线段CD上的充要条件：

a)        AC×AD = 0，几何意义，AC和AD组成的平行四边形的面积为0，即A、C、D三点共线。

b)        A点在CD之间，A.x处于C.x和D.x之间并且A.y处于C.y和D.y之间