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模p运算

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 

          n = kp + r

其中k、r是整数，且 0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。

对于正整数p和整数a,b，定义如下运算：

  • 取模运算：a mod p 表示a除以p的余数。
  • 模p加法：(a + b) mod p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则 (a+b) mod p = r。
  • 模p减法：(a-b) mod p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。
  • 模p乘法：(a × b) mod p，其结果是 a × b算术乘法除以p的余数。

可以发现,模p运算和普通的四则运算有很多类似的规律，如：
规律 公式
结合率 ((a+b) mod p + c)mod p = (a + (b+c) mod p) mod p
((a*b) mod p * c)mod p = (a * (b*c) mod p) mod p
交换率 (a + b) mod p = (b+a) mod p
(a × b) mod p = (b × a) mod p
分配率 ((a +b)mod p × c) mod p = ((a × c) mod p + (b × c) mod p) mod p

简单的证明其中第一个公式： 

 ((a+b) mod p + c) mod p = (a + (b+c) mod p) mod p
 假设
 a = k1 p + r1
 b = k2 p + r2
 c = k3 p + r3
 
 a+b = (k1 + k2) p + (r1 + r2)
 如果(r1 + r2) >= p ，则
    (a+b) mod p = (r1 + r2) -p
 否则
    (a+b) mod p = (r1 + r2)
 再和c进行模p和运算，得到
     结果为  r1 ＋  r2 +  r3的算术和除以p的余数。
 对右侧进行计算可以得到同样的结果，得证。

模p相等

如果两个数a、b满足a mod p = b mod p，则称他们模p相等，记做 

 a ≡ b mod p
可以证明，此时a、b满足 a = kp + b，其中k是某个整数。

对于模p相等和模p乘法来说，有一个和四则运算中迥然不同得规则。在四则运算中，如果c是一个非0整数，则 

       ac = bc 可以得出  a =b

但是在模p运算中，这种关系不存在，例如： 

 (3 x 3) mod 9 = 0
 (6 x 3) mod 9 = 0
 但是
 3 mod 9 = 3
 6 mod 9 =6

定理（消去律）：如果gcd(c,p) ＝ 1 ，则 ac ≡ bc mod p 可以推出 a ≡ b mod p

 证明：
 因为ac ≡ bc mod p
 所以ac = bc + kp，也就是c(a-b) = kp
 因为c和p没有除1以外的公因子，因此上式要成立必须满足下面两个条件中的一个
 1) c能整除k
 2) a = b
 如果2不成立，则c|kp
 因为c和p没有公因子，因此显然c|k，所以k = ck'
 因此c(a-b)kp可以表示为c(a-b) =ck'p
 因此a-b = k'p，得出a ≡ b mod p
 如果a = b，则a ≡ b mod p 显然成立
 得证

欧拉函数

欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数的个数，记做：φ(n)，其中φ(1)被定义为1，但是并没有任何实质的意义。

定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。

显然，对于素数p，φ(p)= p -1.对于两个素数p、q，他们的乘积n = pq 满足φ(n) =(p-1)(q-1)

        证明：对于质数p,q，满足φ(n) =(p-1)(q-1)
        考虑n的完全余数集Zn = { 1,2,....,pq -1}
        而不和n互质的集合由下面三个集合的并构成：
        1) 能够被p整除的集合{p,2p,3p,....,(q-1)p} 共计q-1个
        2) 能够被q整除的集合{q,2q,3q,....,(p-1)q} 共计p-1个
        3) {0}
        很显然，1、2集合中没有共同的元素，因此Zn中元素个数 ＝ pq - (p-1 + q- 1 + 1) = (p-1)(q-1)

欧拉定理

对于互质的整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n 

        证明：
        首先证明下面这个命题：
        对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，考虑集合
        S = {ax1 mod n,ax2mod n,...,axφ(n)mod n}
        则S = Zn
        1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则axi也一定于p互质，因此
        任意xi，axi mod n 必然是Zn的一个元素
        2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj
        则axi mod n ≠ axi mod n，这个由a、p互质和消去律可以得出。
        所以，很明显，S=Zn
        
        既然这样，那么
        （ax1 × ax2×...×axφ(n)）mod n
         = （ax1 mod n × ax2mod n × ... × axφ(n)mod n）mod n
         = （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n
         考虑上面等式左边和右边
         左边等于(aφ(n) × （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n) mod n
         右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n
         而x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n和p互质
         根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：
         aφ(n) ≡ 1 mod n

推论：对于互质的数a、n，满足aφ(n)+1 ≡ a mod n

费马定理




a是不能被质数p整除的正整数，则有ap-1 ≡ 1 mod p




证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。




同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有ap ≡ a mod p