/**//*==================================================*\
| GCD 最大公约数
\*==================================================*/
int gcd(int x, int y)
{
if (!x || !y) return x > y ? x : y;
for (int t; t = x % y; x = y, y = t);
return y;
}
/**//*==================================================*\
| 快速 GCD
\*==================================================*/
int kgcd(int a, int b)
{
if (a == 0) return b;
if (b == 0) return a;
if (!(a & 1) && !(b & 1))
return kgcd(a>>1, b>>1)<<1;
else if (!(b & 1))
return kgcd(a, b>>1);
else if (!(a & 1)) return kgcd(a>>1, b);
else return kgcd(abs(a - b), min(a, b));
}
/**//*==================================================*\
| 扩展 GCD
| 求x, y使得gcd(a, b) = a * x + b * y;
\*==================================================*/
int extgcd(int a, int b, int & x, int & y)
{
if (b == 0) { x=1; y=0; return a; }
int d = extgcd(b, a % b, x, y);
int t = x; x = y; y = t - a / b * y;
return d;
} 欧几里得算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a – kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证.
扩展欧几里德算法
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p * a+q * b = Gcd(a, b) (解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现：
int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exGcd(b, a % b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t – a / b * y;
return r;
}
把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a’ = b, b’ = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a’x + b’y = Gcd(a’, b’)
由于b’ = a % b = a – a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:
a’x + b’y = Gcd(a’, b’) ===>
bx + (a – a / b * b)y = Gcd(a’, b’) = Gcd(a, b) ===>
ay +b(x – a / b*y) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)
补充：关于使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法
对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
q = q0 – a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可
#include <iostream>
using namespace std;
//int gcd(int a, int b); //两个数的最大公约数
//int ngcd(int *pa, int n) //N个数的最大公约数
//int lcm(int a, int b) //两个数的最小公倍数
//int nlcm(int *pa, int n) //N个数的最小公倍数
int gcd (int a,int b)
{
if (b==0)
return a;
return gcd(b,a%b);
}
int ngcd(int *pa, int n)
{
if(n == 1)
return *pa;
return (gcd(pa[n-1], ngcd(pa, n-1)));
}
int lcm(int a, int b) //最小公倍数 ＝ 两数乘积 / 最大公约数
{
return a*b/gcd(a, b);
}
int nlcm(int *pa, int n)
{
if(n == 1)
return *pa;
return lcm(pa[n-1], nlcm(pa, n-1));
}
int main()
{
int a,b,n,rgcd,rlcm,rngcd,rnlcm;
int pa[10];
printf("please input tow number:");
scanf("%d %d",&a,&b);
rgcd=gcd(a,b);
rlcm=lcm(a,b);
printf("最大公约数是：%d\n",rgcd);
printf("最小公倍数是：%d\n",rlcm);
printf("please input the n:");
scanf("%d",&n);
for (int i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&pa[i]);
rngcd=ngcd(pa,n);
rnlcm=nlcm(pa,n);
printf("最大公约数是：%d\n",rngcd);
printf("最小公倍数是：%d\n",rnlcm);
return 0;
}