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四元数入门

Posted on 2010-10-21 17:26 Tommy Liang 阅读(8520) 评论(0)  编辑 收藏 引用
四元数常常可以在3D的书上看到。
但我的那本3D图形学书上,在没讲四元数是干什么的之前,就列了几张纸的公式,
大概因为自己还在上高中,不知道的太多,看了半天没看懂。。。
终于,在gameres上看到了某强人翻译的一个“4元数宝典 ”(原文是日本人写的。。。),感觉很好,分享下。

★旋转篇:
 我将说明使用了四元数(si yuan shu, quaternion)的旋转的操作步骤
)四元数的虚部,实部和写法
所谓四元数,就是把4个实数组合起来的东西。
4个元素中,一个是实部,其余3个是虚部。
比如,叫做Q的四元数,实部t而虚部是x,y,z构成,则像下面这样写。
= (t; x, y, z) 
又,使用向量 V
=(x,y,z),
= (t; V)  
也可以这么写。

正规地用虚数单位i,j,k的写法的话,
= t + xi + yj + zk 
也这样写,不过,我不大使用

)四元数之间的乘法
虚数单位之间的乘法 
ii 
= -1, ij = -ji = k (其他的组合也是循环地以下同文) 
有这么一种规则。(我总觉得,这就像是向量积(外积),对吧) 
用这个规则一点点地计算很麻烦,所以请用像下面这样的公式计算。

= (a; U) 
= (b; V) 
AB 
= (ab - U·V; aV + bU + U×V)
不过,“U·V”是内积,「U×V」是外积的意思。
注意:一般AB
<>BA所以乘法的左右要注意!

3)3次元的坐标的四元数表示
如要将某坐标(x,y,z)用四元数表示,
= (0; x, y, z) 
则要这么写。
 
另外,即使实部是零以外的值,下文的结果也一样。用零的话省事所以我推荐。

)旋转的四元数表示
以原点为旋转中心,旋转的轴是(α, β, γ)
(但 α
^2 + β^2 + γ^2 = 1), 
(右手系的坐标定义的话,望向向量(α, β, γ)的前进方向反时针地) 
转θ角的旋转,用四元数表示就是,
= (cos(θ/2); α sin(θ/2), β sin(θ/2), γ sin(θ/2)) 
= (cos(θ/2); -α sin(θ/2), -β sin(θ/2), -γ sin(θ/2)) 
(另外R 叫 Q 的共轭四元数。) 

那么,如要实行旋转,
则 R P Q 
= (0; 答案) 

请像这样三明治式地计算。这个值的虚部就是旋转之后的点的坐标值。
 (另外,实部应该为零。请验算看看) 

例子代码

/// Quaternion.cpp 
/// (C) Toru Nakata, toru-nakata@aist.go.jp 
/// 2004 Dec 29 
  
#include 
<math.h> 
#include 
<iostream.h> 
  
/// Define Data type 
typedef struct 

              
double t; // real-component 
              double x; // x-component 
              double y; // y-component 
              double z; // z-component 
} quaternion; 
  

//// Bill 注:Kakezan 在日语里是 “乘法”的意思
quaternion Kakezan(quaternion left, quaternion right) 

              quaternion ans; 
              
double d1, d2, d3, d4; 
  
              d1 
=  left.t * right.t; 
              d2 
= -left.x * right.x; 
              d3 
= -left.y * right.y; 
              d4 
= -left.z * right.z; 
              ans.t 
= d1+ d2+ d3+ d4; 
  
              d1 
=  left.t * right.x; 
              d2 
=  right.t * left.x; 
              d3 
=  left.y * right.z; 
              d4 
= -left.z * right.y; 
              ans.x 
=  d1+ d2+ d3+ d4; 
  
              d1 
=  left.t * right.y; 
              d2 
=  right.t * left.y; 
              d3 
=  left.z * right.x; 
              d4 
= -left.x * right.z; 
              ans.y 
=  d1+ d2+ d3+ d4; 
  
              d1 
=  left.t * right.z; 
              d2 
=  right.t * left.z; 
              d3 
=  left.x * right.y; 
              d4 
= -left.y * right.x; 
              ans.z 
=  d1+ d2+ d3+ d4; 
              
              
return ans; 

  
//// Make Rotational quaternion 
quaternion MakeRotationalQuaternion(double radian, double AxisX, double AxisY, double AxisZ) 

              quaternion ans; 
              
double norm; 
              
double ccc, sss; 
              
              ans.t 
= ans.x = ans.y = ans.z = 0.0
  
              norm 
= AxisX *  AxisX +  AxisY *  AxisY +  AxisZ *  AxisZ; 
              
if(norm <= 0.0return ans; 
  
              norm 
= 1.0 / sqrt(norm); 
              AxisX 
*= norm; 
              AxisY 
*= norm; 
              AxisZ 
*= norm; 
  
              ccc 
= cos(0.5 * radian); 
              sss 
= sin(0.5 * radian); 
  
              ans.t 
= ccc; 
              ans.x 
= sss * AxisX; 
              ans.y 
= sss * AxisY; 
              ans.z 
= sss * AxisZ; 
  
              
return ans; 

  
//// Put XYZ into  quaternion 
quaternion PutXYZToQuaternion(double PosX, double PosY, double PosZ) 

              quaternion ans; 
  
              ans.t 
= 0.0
              ans.x 
= PosX; 
              ans.y 
= PosY; 
              ans.z 
= PosZ; 
  
              
return ans; 

  
///// main 
int main() 

              
double px, py, pz; 
              
double ax, ay, az, th; 
              quaternion ppp, qqq, rrr; 
  
              cout 
<< "Point Position (x, y, z) " << endl; 
              cout 
<< "  x = "
              cin 
>> px; 
              cout 
<< "  y = "
              cin 
>> py; 
              cout 
<< "  z = "
              cin 
>> pz; 
              ppp 
= PutXYZToQuaternion(px, py, pz); 
  
              
while(1) { 
                            cout 
<< "\nRotation Degree ? (Enter 0 to Quit) " << endl; 
                            cout 
<< "  angle = "
                            cin 
>> th; 
                            
if(th == 0.0break
  
                            cout 
<< "Rotation Axis Direction ? (x, y, z) " << endl; 
                            cout 
<< "  x = "
                            cin 
>> ax; 
                            cout 
<< "  y = "
                            cin 
>> ay; 
                            cout 
<< "  z = "
                            cin 
>> az; 
  
  
                            th 
*= 3.1415926535897932384626433832795 / 180.0/// Degree -> radian; 
  
                            qqq 
= MakeRotationalQuaternion(th, ax, ay, az); 
                            rrr 
= MakeRotationalQuaternion(-th, ax, ay, az); 
  
                            ppp 
= Kakezan(rrr, ppp); 
                            ppp 
= Kakezan(ppp, qqq); 
  
                            cout 
<< "\nAnser X = " << ppp.x 
                                          
<<  "\n      Y = " << ppp.y 
                                          
<<  "\n      Z = " << ppp.z << endl; 
  
              } 
  
              
return 0
}  

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