哈密顿(Homldun),
(William
RoWan Hamilton
1805-1865)英国数学家、物理学家。1805年8月3日(一说4日)生于爱尔兰都柏林,1865年9月2日卒于都柏林附近的敦辛克天文台。早年受
到很好的家庭教育。他在叔父、语言学家J.哈密顿的教导下,5岁开始学习各种外语,14岁时学会了12种欧洲语言。13岁对数学发生兴趣,只用几年时间,
自学了A.-c.克莱罗、1.牛顿和P.-S.拉普拉斯等人的几部经典著作。除了阅读理论书籍外,他还自制望远镜观察天象,17岁时在光学中就有所发现。
1823年,考入都柏林的三一学院,他学习成绩优异,曾多次获得学院的各种奖励。1837年,被聘任为三一学院的天文学教授,同时获得了爱尔兰皇家天文学
家的称号。哈密顿于l827年定居在都柏林附近的敦辛克天文台,从此潜心钻研数理科学。1835年获得爵位。l837年被选为爱尔兰皇家科学院院长。他还
是英国皇家学会会员、法国科学院院士和彼得堡科学院通讯院士。
哈密顿在数学上的主要贡献是发现了“四元数”。他首先把复数x+yi作为实数的有序偶(x,g)来研究,并规定了它们的运算法则。这样,i在复数运算中就有了明确的意义。在此基础上,他试图建立三维的“复数”,经反复努力未能成功i最终导致他考虑具有四个分量的新数(1843)。他把形如t十Xi十yj十2k的数叫“四元数”。
19世纪早期,人们认为在数学领域里不存在与一般算术代数不同的代数。但是年轻的数学家哈密顿却独树一帜,设想建立超复数系,定义这样两个有序实数四元数组(a,b,c,d),(e,f,g,h)为相等的,当且仅当a=e,b=f,c=g,d=h.又用记号l,i,j,k分别表示(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1).但是如何规定其运算法则呢?如果按照普通代数的四则运算法则进行,政府就难以建立起来。如果独辟蹊径,又该从何下手呢?哈密尔顿发现将四无数组的加法和乘法的定义如下:
(a,b,c,d)+(e,f,g,h)=(a+e,b+f,c+g,d+h);
(a,b,c,d)*(e,f,g,h)=(ae-bf-cg-dh,af+be+ch-dg,ag+ce+df-bh,ah+bg+de-cf);
m(a,b,c,d)=(a,b,c,d)m=(ma,mb,mc,md)(m为常数)
三维空间向量及其内积、外积之成为数学物理的工具,大约从19世纪80年代初期开始,在此之前被普遍使用的,则是由 Hamilton 所创造的「四元数」。由于复数在平面上几何及物理的有效应用,促使人们探索一种三维「复数」的工具。
1843年 Hamilton 创造了形如 的所谓四元数,其中 a0,a1,a2,a3 为实数,i,j,k 则扮演相当于复数中 i 的角色。两个四元数 与 的和,定义为
至于乘积则由
i2 = j2
= k2 = -1
与
及分配律来定义,也就是说
我们可以验证,加、减、乘、除四则运算对于四元数系照样可行,就像在复数系中一般,只除了乘法交换律并不满足。可除性较不明显,但却是相当重要的。若 ,定义 为其共轭数,则 与 =a02+a12+a22+a32 皆为实数。令 而称之为 a 之范数(绝对值)。显然,若 ,则, 为 a 之倒数。
我们若仔细观察四元数的乘积定义,不难发现向量的内积、外积隐含其中。若 a=a0+a1i+a2j+a3k,我们称 为 a 之纯量部分(实数部分), u=a1i+a2j+a3k 为 a 之向量部分(虚数部分),当 , ,则 , 为一纯量,, 为向量,然而 uv 是甚么?
由乘积定义可知 uv =(a1i+a2j+a3k)(b1i+b2j+b3k=-(a1b1+a2b2+a3b3)+[(a2b3-a3b2)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)k],正是 ,因此 清楚地描述四元数的乘法。
因为乘法交换性的缺乏,使得四元数的运算显得繁而难,以至于向量的内积、外积引进后,四元数就被人淡忘了。然而,四元数的可除性,却是内积、外积所不及的,譬如说,例 5 的解答,虽简短却不容易。然而,就四元数的观点而言,这个问题只不过是一元一次方程式 而已,我们可以立刻解得 。