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哈密顿与四元数

哈密顿(Homldun), (William RoWan Hamilton 1805-1865)英国数学家、物理学家。1805年8月3日(一说4日)生于爱尔兰都柏林,1865年9月2日卒于都柏林附近的敦辛克天文台。早年受 到很好的家庭教育。他在叔父、语言学家J.哈密顿的教导下,5岁开始学习各种外语,14岁时学会了12种欧洲语言。13岁对数学发生兴趣,只用几年时间, 自学了A.-c.克莱罗、1.牛顿和P.-S.拉普拉斯等人的几部经典著作。除了阅读理论书籍外,他还自制望远镜观察天象,17岁时在光学中就有所发现。 1823年,考入都柏林的三一学院,他学习成绩优异,曾多次获得学院的各种奖励。1837年,被聘任为三一学院的天文学教授,同时获得了爱尔兰皇家天文学 家的称号。哈密顿于l827年定居在都柏林附近的敦辛克天文台,从此潜心钻研数理科学。1835年获得爵位。l837年被选为爱尔兰皇家科学院院长。他还 是英国皇家学会会员、法国科学院院士和彼得堡科学院通讯院士。


  哈密顿在数学上的主要贡献是发现了“四元数”。他首先把复数x+yi作为实数的有序偶(x,g)来研究,并规定了它们的运算法则。这样,i在复数运算中就有了明确的意义。在此基础上,他试图建立三维的“复数”,经反复努力未能成功i最终导致他考虑具有四个分量的新数(1843)。他把形如t十Xi十yj十2k的数叫“四元数”。

 

19世纪早期,人们认为在数学领域里不存在与一般算术代数不同的代数。但是年轻的数学家哈密顿却独树一帜,设想建立超复数系,定义这样两个有序实数四元数组(a,b,c,d),(e,f,g,h)为相等的,当且仅当a=e,b=f,c=g,d=h.又用记号l,i,j,k分别表示(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1).但是如何规定其运算法则呢?如果按照普通代数的四则运算法则进行,政府就难以建立起来。如果独辟蹊径,又该从何下手呢?哈密尔顿发现将四无数组的加法和乘法的定义如下:
  (a,b,c,d)+(e,f,g,h)=(a+e,b+f,c+g,d+h);
  (a,b,c,d)*(e,f,g,h)=(ae-bf-cg-dh,af+be+ch-dg,ag+ce+df-bh,ah+bg+de-cf);
  m(a,b,c,d)=(a,b,c,d)m=(ma,mb,mc,md)(m为常数)

三维空间向量及其内积、外积之成为数学物理的工具,大约从19世纪80年代初期开始,在此之前被普遍使用的,则是由 Hamilton 所创造的「四元数」。由于复数在平面上几何及物理的有效应用,促使人们探索一种三维「复数」的工具。 1843年 Hamilton 创造了形如 $a_0+a_1\vec{\imath}+a_2\vec{\jmath}+a_3\vec{k}$的所谓四元数,其中 a0,a1,a2,a3 为实数,i,j,k 则扮演相当于复数中 i 的角色。两个四元数 $a=a_0+a_1\vec{\imath}+a_2\vec{\jmath}+a_3\vec{k}$$b=b_0+b_1\vec{\imath}+b_2\vec{\jmath}+b_3\vec{k}$的和,定义为

\begin{displaymath}
(a_0+b_0)+(a_1+b_1)\vec{\imath}+(a_2+b_2)\vec{\jmath}+(a_3+b_3)\vec{k}
\end{displaymath}


至于乘积则由

i2 = j2 = k2 = -1


\begin{displaymath}
ij=k=-ji,\quad jk=i=-kj,\quad ki=j=-ik
\end{displaymath}


及分配律来定义,也就是说

\begin{eqnarray*}
ab &=& (a_0b_0-a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3)
+ (a_0b_1+a_1b_0+a_2b_3-...
...b_0+a_3b_1)\vec{\jmath}
+ (a_0b_3+a_1b_2-a_2b_1+a_3b_0) \vec{k}
\end{eqnarray*}


我们可以验证,加、减、乘、除四则运算对于四元数系照样可行,就像在复数系中一般,只除了乘法交换律并不满足可除性较不明显,但却是相当重要的。若
$a=a_0+a_1\vec{\imath}+a_2\vec{\jmath}+a_3\vec{k}$,定义 $\bar{a}$$=a_0-a_1\vec{\imath} - a_2\vec{\jmath} - a_3\vec{k}$为其共轭数,则 $a+\bar{a}=2a_0$$a\bar{a}$$=\bar{a}a$=a02+a12+a22+a32 皆为实数。令 $\vert a\vert=(a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2)^{\frac{1}{2}}$而称之为 a 之范数(绝对值)。显然,若 $a\neq0$,则, $\vert a\vert^{-2}\bar{a}$a 之倒数。

我们若仔细观察四元数的乘积定义,不难发现向量的内积、外积隐含其中。若 a=a0+a1i+a2j+a3k,我们称 $\alpha=a_0$a纯量部分(实数部分)u=a1i+a2j+a3ka向量部分(虚数部分),当 $a=\alpha+u$, $b=\beta+v$,则 $ab=\alpha\beta+\alpha v+\beta u+uv$$\alpha\beta$ 为一纯量,$\alpha v$,$\beta u$ 为向量,然而 uv 是甚么?

由乘积定义可知 uv =(a1i+a2j+a3k)(b1i+b2j+b3k=-(a1b1+a2b2+a3b3)+[(a2b3-a3b2)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)k],正是 $-u\cdot v+u\times v$,因此 $(\alpha+u)(\beta+v)$$=(\alpha\beta-u\cdot v) + (\alpha v+\beta u+u\times v)$清楚地描述四元数的乘法。

因为乘法交换性的缺乏,使得四元数的运算显得繁而难,以至于向量的内积、外积引进后,四元数就被人淡忘了。然而,四元数的可除性,却是内积、外积所不及的,譬如说,例 5 的解答,虽简短却不容易。然而,就四元数的观点而言,这个问题只不过是一元一次方程式 $\vec{a}\vec{v} = -c+\vec{b}$而已,我们可以立刻解得 $\vec{v} = \vec{a}^{-1}(-c+\vec{b})$$= \frac{-\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert^2}(-c+\vec{b})$$=\frac{1}{\vert\vec{a}\vert^2}(c\vec{a}-\vec{a}\times\vec{b})$

posted on 2005-12-23 14:59 晓培的博客 阅读(1607) 评论(0)  编辑 收藏 引用


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