JPEG2000
中包括许多既定义的单元，主要有：
1．
画布
2．
分片（
Tile
）
3．
子带（
Subband
）
4．
分辨率层（
Resolution
）
5．
分区
(Precinct)
6．
分区分割（
Precinct partition,
在
kakadu
中叫
precinct band
）
7．
码块（
code block
）
8．
包
(packet
9．
层（
layer
）
10．
分量（
Component
）
11．
区域（
Region
）
12．
渐进性（
Progressive
）
下面来一一解释这些概念。
画布
画布是整个图像的参考网格，可以想象我们的图像就在这张画布上显示的；但必须明确一点就是，图像的原点未必就正好在画布的原点。可以形象的描述画布为许多网格，如下：
这里需要注意的另一个问题是：图像的值并不是正好填充在每个网格上，可能以一定的间隔填充的。
在这里假设所有的分量采样间隔
S
都是
1
。
分量
这里的分量与我们通常所说的颜色分量是相同的，例如：对于
RGB
表示的像素值图像，有三个分量，如果是
24bit
的
RGB
，那么每个分量使用
8bit
来表示。当然整个图像是由三个分量组成，因此每个分量都在画布上，而分量的填充间隔可以不一样。例如：
上图中包含两个分量的图像，但第一个分量（红色）的采样间隔是
4
，第二个是
2
。对于我们常用的图像，分量采样的间隔（
Subsampling
）是一样的。
图像的在画布中使用两对坐标来表示位置：（
E1
，
F1
）；（
E2
，
F2
）
由于分量的采样因子（间隔）不一样，所以每个分量的区域界限是不同的，一般可表示为：
Ec = Ei/Si
贴片（分片）
JPEG2000
引入分片这个概念是为了处理复合文档，因为有些区域包含图形，有些区域包含文字，分片之后对不同的区域采用不同的处理方法。例如：文字区域不需要
DWT
，直接压缩等。
对于一般压缩自然图像采用一个分片就足够了。
这里的分片与图像并非是坐标对齐的，其用
O1
和
O2
来表示原点在画布上的位置，用
T1
和
T2
表示每个分片的大小；每个分片必须与图像的区域有重叠。
使用
N1
和
N2
来表示分片的
Y
方向和
X
的数量，使用
t1
和
t2
来表示坐标，
其中
0<=t1<N1,
并且
0<=t2<N2
。
每个贴片在都有一个唯一的标示符号，其通过
t
来表示，计算如下：
t = t2+t1N2
注意：非
0
原点的目的方便于图像的裁剪处理。
贴片在画布中的区域
每个贴片在画布中对应的区域为：
E1_t = max (E1, O1+t1*T1); F1_t = min (F1, O1+t1*T1)
E2_t = max (E2, O2+t2*T2) F2_t = min (F2, O2+t2*T2)
O =
（
0
，
0
）
如果
E1 = 100
，
E2 = 100
，
F1 = 1000
，
F2 = 1000
O1 = 10
，
O2 = 10
，
T1 = 100
，
T2 = 100
因此：
N1 =
（
F1-O1
）
/100 = 9
，
N2 = 9
那么
E1_t = max(100,10+t1*100), F1_t = min(1000,10+t2*100)
如果
t1 = 2, t2 = 3;
那么
该贴片的唯一表示为：
t = t2+t1*N2 = 3+2*9= 21
E1_t = max (100, 10+2*100) = 210 F1_t = min (1000, 10+3*100) = 310
E2_t = max (100, 10+2*100) = 210 F2_t = min (1000, 10+3*100) = 310
当然，如果每个贴片对应到分量上时情况有所不同，因为不同分量的采样间隔不一样导致有的贴片并不包含分量值。
JPEG2000
中，
DWT
变换是针对每个贴片分量的，如果有三个分量，那么每个分量调用
DWT
变换。
子带
子带是进行
DWT
子带变换的产物，这里以
2D
树结构为例来说明子带变换产生的子带。图中的每次
DWT
变换在
LLn
子带上进行，最初的图像可以认为是
LL0
子带，对
LL(n-1)
子带进行变化得到
n
级别的子带
4
个，分别是
LLn, HLn, LHn, HHn
。
HL
子带是水平高通滤波器产生的结果，因此水平方向上高频图像区域被保存了下来。
LH
子带是垂直高通滤波器产生的结果，因此垂直方向上高频图像区域被保存下来。
HH
是垂直和水平方向上都是高通的结果，因此是对角线方向的图像特性被保存下来。
LL
是图像的低频部分，也是图像的低分辨率版本。
|
LL3
|
HL3
|
HL2
|
HL1
|
|
|
LH3
|
HH3
|
|
|
LH2
|
HH2
|
|
|
|
|
LH1
|
HH1
|
|
|
|
|
|
|
|
子带在画布中的区域
E1_t_b = (E1_t – 2
d-1
b1)/2
d
E2_t_b = (E2_t – 2
d-1
b2)/2
d
F1_t_b = (F1_t-
2
d-1
b1)/2
d
F2_t_b = (F2_t-
2
d-1
b2)/2
d
其中
d
的取值范围是
1
到
D
（
DWT LEVEL
）；而
b1
和
b2
的取值由子带决定：
LL
子带中：
b1= b2= 0
HL
子带中：
b1= 0
；
b2= 1
LH
子带中：
b1= 1
；
b2= 0
HH
子带中：
b1= 1
；
b2= 1
这里按照上面贴片的位置来计算子带在画布中区域。这里假设是
DWT
的
LEVEL 2
，也就是
d
等于
2
。
由于
E1_t = E2_t = 210, F1_t = F2_t = 310
，那么对于
LL
子带：
E1_t_b_LL = (210-2
2-1
*0)/2
2 =
210/4 = 53
E2_t_b_LL = 53
F1_t_b_LL = (310-2
2-1
*0)/2
2
=
78
F2_t_b_LL = 78
对于
HL
子带：
E1_t_b_HL= (210-2
2-1
*0/2
2 =
210/4 = 53
E2_t_b_HL= (210-2
2-1
*1)2
2 =
208/4 = 52
F1_t_b_HL = (310-2
2-1
*0)/2
2
=
78
F2_t_b_HL = (310-2
2-1
*1)/2
2
=
77
对于
LH
子带：
E1_t_b_LH= (210-2
2-1
*1/2
2 =
210/4 = 52
E2_t_b_ LH = (210-2
2-1
*0)2
2 =
208/4 = 53
F1_t_b_ LH = (310-2
2-1
*1)/2
2
=
77
F2_t_b_HL = (310-2
2-1
*0)/2
2
=
78
对于
HH
子带：
E1_t_b_ HH = (210-2
2-1
*1/2
2 =
210/4 = 52 E2_t_b_HH = 52
F1_t_b_ HH = (310-2
2-1
*1)/2
2
=
77 F2_t_b_ HH = (310-2
2-1
*1)/2
2
=
77
上面的数都是取整数的结果，超出的部分取
1
。
实际上我们可以计算
d=1
时的
LL
子带边界就知道了：
E1_t_b_LL = (210-2
1-1
*0)/2
1 =
210/2 = 105
E2_t_b_LL = 105
F1_t_b_LL = (310-2
1-1
*0)/2
1
=
155
F2_t_b_LL = 155
可以看到
d=2
的子带和
d=1
的各子带之间的关系：
W_HL= F2_t_b_HL - E2_t_b_HL = 77-52 = 25
H_HL= F1_t_b_HL – E1_t_b_HL = 78-53 = 25
W_LH = F2_t_b_LH - E2_t_b_LH = 78-53 = 25
H_ LH = F1_t_b_ LH – E1_t_b_ LH = 77-52 = 25
W_HH = F2_t_b_HH –E2_t_b_HH = 77-52 = 25
H_HH = F1_t_b_HH – E1_t_b_HH = 77-52 = 25
W_LL = 78-53 = 25 H_LL = 78-53 = 25
我可以看到对于
d= 1
的
LL
子带宽度与
d=2
的
W_LL+W_HL
以及
W_LH+W_HH;
高度也是同样的。
下面来看
d= 3
的各子带参数：
对于
LL
子带有：
E1_t_b_LL = (210-2
3-1
*0)/2
3 =
210/8 = 27
E2_t_b_LL = 27
F1_t_b_LL = (310-2
3-1
*0)/2
3
=
39
F2_t_b_LL = 39
对于
HL
子带：
E1_t_b_HL= (210-2
3-1
*0/2
3 =
210/8 = 27
E2_t_b_HL= (210-2
3-1
*1)2
3 =
206/8 = 26
F1_t_b_HL = (310-2
3-1
*0)/2
3
=
39
F2_t_b_HL = (310-2
3-1
*1)/2
3
=
39
对于
LH
子带：
E1_t_b_LH= (210-2
3-1
*1/2
3 =
206/8 = 26
E2_t_b_ LH = (210-2
3-1
*0)2
3 =
210/4 = 27
F1_t_b_ LH = (310-2
3-1
*1)/2
3
=
39
F2_t_b_ LH = (310-2
3-1
*0)/2
3
=
39
对于
HH
子带：
E1_t_b_ HH = (210-2
3-1
*1/2
3=
210/4 = 26 E2_t_b_HH = 26
F1_t_b_ HH = (310-2
3-1
*1)/2
3
=
39 F2_t_b_ HH = (310-2
2-1
*1)/2
2
=
39
从这里我可以看到各子带不在一样大了：
LL
子带是：
12*12
，
HL
子带是
12*13
，
LH
是
13*12
，
HH
是
13*13
（高度先）。
他们的宽和高的和与
d=2
上的
LL
子带是相等的。
由于
LL_2
上的宽度和高度是
25
（奇数），所以导致这种情况，基本的过滤是：如果计算中的贴片坐标
E
i
_t
是偶数，那么最终低通部分比高通部分多一个样本，如果是奇数，那么高通子带比低通子带多
1
个样本。
另外一个问题必须注意：计算过后的子带边界比原来的贴片小，实际上由于每次子带变换，图像的分辨率都要缩小
1/2
，所以在
d
级子带变化后，上得到的边界，必须乘上
2
d
才能与原贴片中的位置对应。那么对于
d=2
的情况，必须乘上
4
，因此对于
d=2
的各子带在原图像中的实际位置为：
LL
子带的位置为：（
212
，
312
）
X
（
212
，
312
）
HL
子带的位置为：（
212
，
312
）
X
（
208
，
308
）
LH
子带的位置为：（
208
，
308
）
X
（
212
，
312
）
HH
子带的位置为：（
208
，
208
）
X
（
208
，
308
）
上面的表示方式是高度优先。
这里可以理解为
d
级上的子带是由原图中的
2
d
个样本变换得到。
分辨率层
上图显示的子带变换过程由
DWT LEVEL
来决定，而每个级别都是图像的低分辨率层。分辨率的级别与
DWT Level
的值相反，
Level
最的时候，分辨率级别为
0
，而原图像对应分辨率的最高级别。
每个分辨率级别包含
3
个子带，分别是
HL
，
HH
和
LH
；
0
层包括一个子带
LL
。
分辨率的区域边界
假设分辨率用
r
表示，总的
DWT
变换次数用
D
表示，那么对于每个分辨率的边界可表示为：
E
i
_R = E
i
_t/2
D-r
F
i
_R = F
i
_t/2
D-r
如果
D=3
，
r=2
；那么按照上面的计算（
E1_t=E2_t = 210, F1_t=F2_t = 310
），分辨率层
2
的边界为：
E1_R_2 = 210/2
3-2
= 105 F1_R_2 = 310/2
3-2
= 155
E2_R_2 = 105 F2_R_2 = 155
如果
r=0
，那么该分辨层的边界为：
E1_R_2 = 210/2
3-0
= 27 F1_R_2 = 310/2
3-0
= 39
E2_R_2 = 27 F2_R_2 = 39
每个分辨率级别的原点也是贴边的原点乘上：
2
-(D-r)
分区
为了提供渐进性，
JPEG2000
提供了分区和分区分割的概念。
分区与贴片不同的地方在于分区不影响
DWT
变化，甚至不影响编码。另外分区的大小必须是
2
的
POWER
，而贴片的大小可以是任意的。
其将某个指定的分辨率层上进行分割，当然要求分区的每个块必须与图像的区域重叠。
一般某个分辨率层上有
3
个子带，这三个子带都是通过分区网格来划分的，当然每个子带
分区的大小用
P1
和
P2
来表示，
P1
是高度，
P2
是宽度。
N1_P
：表示垂直方向分区的数量。
N2_P
：表示水平方向分区的数量。
分区的原点用
O1_P,O2_P
表示，其可以不用与分辨率层的原点重叠；分区用垂直和水平方向的索引（
p1,p2
）来表示；并且：
0<=p1<N1_P 0<= p2<N2_P
而
N1_P
和
N2_P
有下面计算得到：
N1_P = (F1_R-O1_P)/P1
N2_P = (F2_R-O1_P)/P2
F1_R
和
F2_R
表示当前分辨率层的右和下边界。如果他们是
0
，那么
N1_P
和
N2_P
必须是
0
。
分区的区域
分区的区域用下面的表达式计算出来：
E1_P = max (E1_R, O1_P+P1*p1)
F1_P = min (F1_R, O1_P+P1*(p1+1))
E2_P = max (E2_R, O2_P+P2*p2)
F2_P = min (F2_R, O2_P+P2*(p2+1))
下面计算上面对于
D=3
，
r=2
分辨率上的分区（
1,3
）的边界；这里假设
O1_P = 90,O2_P = 100
，并且
P1=8
，
P2=4
前面的计算中有
E1_R_2 = 105 F1_R_2 = 155 E2_R_2 = 105 F2_R_2 = 155
E1_P = max(105
，
90+1*8)= 105
F1_P = min (155,100+1*8) = 108
E2_P =max (105, 90+3*4) = 105
F2_P = min (155,100+3*4) = 112
分区分割
分区分割是将同一个分辨率层上三个子代（
LL
子带外）上同一个位置的分区合并到一起的总称。实际上可以看出，这三块上的信息合并到一起在加上
LL
子带当前块，就可以恢复上一个分辨率级别上
LL
子带该位置的样本。当然映射到上一个分辨率层的时候需要将区域扩展。
对于特定的
r
分辨率级别上分区，对应到
r-1
分辨率级别上的的三个子带的区域为：
Ei_R-1_b = (Ei_R – bi)/2
Sr
Fi_R-1_b = (Fi_R – bi)/2
Sr
其中
i
等于
1
和
2
，而
bi
分别是
0
和
1
。其组合得到四个子带。
Sr
在
r=0
的时候为
0
，
r
大于
0
的时候为
1
。如果是
0
表示最低分辨率层也就是最终的
LL
子带，那么其没有映射，而对于其他的分辨率层上的映射是其下一级别的三个子带，因此区域标记需要减少
1/2
。这里的关系同前面子带的映射关系相似，这里不在详细介绍。
另外，新映射的三个子带的原点坐标需要按照下面表达式计算：
Oi_R-1 = (Oi_R –bi)/2
Sr
而分区划分的大小为：
P1_R-1 = 2
-Sr
*P1_R
P2_R-1 = 2
-S
r*P2_R
码块
编码块是对每个子带中分区的进一步划分；编码块划分具有与同一个子带中分区划分同样的原点
(O1_P,O2_P)
。
每个码块的大小为
J1_BC*J2_BC
。默认是
64
，他们必须是
2
的
POWER
，并且不能小于
4
，大于
1024
。
默认值
J1_BC_D,J2_BC_D
从
COD
参数的
CBLK
中获得，因此
J1_BC,J2_BC
可以通过下面的表达式来计算：
J1_BC = MIN (J1_BC_D, 2
-Sr
*P1_R)
J2_BC = MIN (J2_BC_D, 2
-Sr
*P2_R)
P1_R
和
P2_R
表示
r
分辨率上的分区大小。如果
2
-Sr
*Pi_R
比
Ji_BC_D
要小，说明一个分区只能有一个码块。
每个分区上的垂直和水平方向码块的数目为：
N1_BC,N2_BC
。
N1_BC = (F1_R-1_b – O1_P)/J1_BC
N2_BC = (F2_R-1_b – O2_P)/J2_BC
F1_R-1_b
和
F2_R-1_b
表示分区在子带上的下边界和右边界。
码块的编码
如果一个分区有多个码块，需要进行编码，编码的顺序是从左到右，从上到下。
HL
子带码块先出现，最后是
HH
子带。
注意：码块是进行编码的基本单元。所有数据在进行
DWT
之后，然后将对应子带上的系数按照分区来划分，并最终组织成码块，然后将得到的码块数据进行编码。
包
为了能够是压缩在质量方面采用渐进性，采用包这种结构。包实际上是码块编码的集合；最简单的码块组合方式是顺序的；例如：
每个码块的全部按照长度
+
内容（长度个字节）连续在一起，叫组合流。但这种方式不能够提供失真的伸缩性，但他们也是嵌入式的编码。
为了达到失真伸缩性，需要将码块的编码分为多次（或多个过程），每次为图象质量贡献一部分字节，如下图描述：
这里的
Qi
表示质量层，码块为每层提供一定的长度用
L
表示。这里只描述了两层，因此对于每个码块来说，整体的编码被分配到各质量层上，当然有的码块可能对某些质量层没有任何贡献，也就是空的。另外图中的箭头表示码块组织的方式。在位流中，其需要为每个码块增加一个标志头。
按照上面这种方式组织码流可以达到率失真的伸缩性，这种组织方式下位于某层的码块编码组合就形成一个包，当然这些码块应该是相关的，
JPEG2000
中规定这些码块应该在同一个分区内。
例如：上面图中有两个分区，
B0-B3
是分区
1
，
B4-B7
是分区
2
，那么
B0-B3
的
Q0
层编码流组合就是一个包。
JPEG2000
中有一个要求就是，将每个码块的头放在一起，组成包头，然后是码块的系数编码流。
层（质量层）
层是一个包的集合；每个分区为层贡献一个包，而分区是按照分辨率层来进行划分的。
但它与分辨率层不同的概率，它的每个层都是全分辨率的，也就是说，如果按照层来查看样本，那么每个层的大小都和原来图像是一样大小的。
层的数量并不固定，主要有采用的应用类型决定。
单一层：如果不需要失真的伸缩性，那么就使用简单的组合流，只需要一层。
按照编码过程进行分层也是一个好办法，每层包含码块样本的一个编码过程，这样有多少个编码过程就有多少层。这也是
EBCOT
中采用三个编码过程的原因所在。
因此，从上面的理解我们可以知道，层是全分辨率的，每层都与原来图像一样大小；如果层不断累加，那么质量不断改善，最终得到原来的图像样本。
区域
到目前，前面的例子已经足够告诉我们区域（
Region
）的含义了，这里不再介绍。
渐进性
最后看一下渐进性。
JPEG2000
最诱人的一点在于渐进性，随着数据的增加图像按照某种方式改善。
渐进性的四维是：质量、分辨率、空间和分量。
质量渐进性是通过上面介绍的层来实现的，随着层的增加，图像的质量不断改善。可以发现的是，每层实际上包括图像的某些部分，随着层的增加，图像越来越完整。
分辨率渐进性是子带变化过程中产生的各分辨率方式来组织数据。