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欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:
定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

其算法用C++语言描述为:

int gcd(int m, int n)
{
 
if (m == 0)
  
return n;
 
if (n == 0)
  
return m;
 
if (m < n)
 
{
  
int tmp = m;
  m 
= n;
  n 
= tmp;
 }

 
while (n != 0)
 
{
  
int tmp = m % n;
  m 
= n;
  n 
= tmp;
 }


 
return m;
}



Stein算法(以下理论请参考http://blog.vckbase.com/arong/archive/2004/06/15/458.html),代码是我加上的。

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法,他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷,这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。
考虑现在的硬件平台,一般整数最多也就是64位,对于这样的整数,计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台,计算两个不超过32位的整数的模,只需要一个指令周期,而计算64位以下的整数模,也不过几个周期而已。但是对于更大的素数,这样的计算过程就不得不由用户来设计,为了计算两个超过64位的整数的模,用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法,这个过程不但复杂,而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法,要求计算128位以上的素数的情况比比皆是,设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

Stein算法由J. Stein 1961年提出,这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是,Stein算法只有整数的移位和加减法,这对于程序设计者是一个福音。

为了说明Stein算法的正确性,首先必须注意到以下结论:

gcd(a,a) = a,也就是一个数和他自身的公约数是其自身
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b),也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换,特殊的,当k=2时,说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除
有了上述规律就可以给出Stein算法如下:

1.如果A=0,B是最大公约数,算法结束
2.如果B=0,A是最大公约数,算法结束
3.设置A1 = A、B1=B和C1 = 1
4.如果An和Bn都是偶数,则An+1 =An /2,Bn+1 =Bn /2,Cn+1 =Cn *2(注意,乘2只要把整数左移一位即可,除2只要把整数右移一位即可)
5.如果An是偶数,Bn不是偶数,则An+1 =An /2,Bn+1 =Bn ,Cn+1 =Cn (很显然啦,2不是奇数的约数)
6.如果Bn是偶数,An不是偶数,则Bn+1 =Bn /2,An+1 =An ,Cn+1 =Cn (很显然啦,2不是奇数的约数)
7.如果An和Bn都不是偶数,则An+1 =|An -Bn|,Bn+1 =min(An,Bn),Cn+1 =Cn
8.n++,转4
这个算法的原理很显然,所以就不再证明了。现在考察一下该算法和欧几里德方法效率上的差别。

考虑欧几里德算法,最恶劣的情况是,每次迭代a = 2b -1,这样,迭代后,r= b-1。如果a小于2N,这样大约需要 4N次迭代。而考虑Stein算法,每次迭代后,显然AN+1BN+1≤ ANBN/2,最大迭代次数也不超过4N次。也就是说,迭代次数几乎是相等的。但是,需要注意的是,对于大素数,试商法将使每次迭代都更复杂,因此对于大素数Stein将更有优势。

其算法用C++语言描述为:

bool is_even(int n) 
{
 
return !(n & 1);
}

int gcd2(int m, int n)
{
 
int c = 1;
 
while (m != 0 && n != 0)
 
{
  
if (is_even(m) && is_even(n))
  
{
   m 
>>= 1;
   n 
>>= 1;
   c 
<<= 1;
  }

  
else if (is_even(m) && !is_even(n))
  
{
   m 
>>= 1;
  }

  
else if (!is_even(m) && is_even(n))
  
{
   n 
>>= 1;
  }

  
else if (!is_even(m) && !is_even(n))
  
{
   
int m1 = m;
   
int n1 = n;
   m 
= abs(m-n);  //crt库函数
   n = min(m1, n1);//crt宏
  }

 }


 
return c * n;
}

posted on 2008-10-11 11:32 醒目西西 阅读(179) 评论(0)  编辑 收藏 引用

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