以下两个故事出自
zhiqiang的blog
OK,问题阅读完毕,现在我们开始思考这个trick;
问题可以大致归纳如下:一个零和游戏中,博弈双方的数学期望都是正的。
归纳之后,就很容易看出问题的所在了:制造悖论的人,故意将数学期望最大值同最优博弈策略混淆开来:
这里我可以举一个例子,以解释数学期望的最大并不等于博弈策略的最佳:
如果你手头有一亿美金,然后有人拉你去参加一次赌博,这个赌博有这样的特征:
1) 你只有参加一次的机会
2)你必须压上你所有的金钱
3)你获胜的几率是一亿分之一
4)赔率是一赔十亿
请问你参加不参加?
是的,这个赌博的特征,与上边悖论中的大致类似;我猜想只要精神正常的人,大概都会拒绝。
那么,如果你的手头只有一美金(或者一美分)呢?你会不会参加?我不知道你怎么想,反正我会去碰碰运气的:)
其实,在这中赌博中,手头金钱越多的人,越趋向于拒绝参加,表现为风险规避的特征;
而手头拮据的人,即使胜率再低一点,也会跃跃欲试的----想必你已经想到为什么历史上揭竿而起的,多是穷苦大众,
而富足人家,大多对谋朝篡位之类的避之不迭,当然,吕不韦是一个异类,无视他好了。
上边是一个定性的分析,下边给出对第一个悖论数学模型的定量计算:
1. 相同数量的金钱,在拥有不同数量身家的人眼里,分量是不一样的,如:
对于街边乞讨的人和百万富豪来说,一元钱的分量截然不同----据说比尔
大门就是把时间用来数百元大钞,也是亏本的。
2.如承认1. 的假设,那么,上边的"酷毙"与"帅呆",因为他们分得的金钱数量不
同,也就是身家不同,其决策也应当受到影响,如:
"酷毙"获得金钱为2,"帅呆"获得金钱为1,
那么,引入一个金钱分量函数F(x),刻画不同身家对个体贪婪程度的影响。
可以假设
"酷毙"的金钱分量函数为 F1(x) = ln(x-1) ----分量函数随着金
钱增长而增长,不过缓慢
"帅呆"的金钱分量函数为 F2(x) = x-1 ----分量函数随金钱
增长而增长,快速
(注:因为他们都分得了金币而不知道对方分得多少,让他们对当前金钱的满意度
一样,都为0)
(再注:金钱分量函数,刻画的是对金钱的追求的贪婪程度----同等数量的金
钱,个体越贪婪,其分量函数越大--比尔大门对一元钱的贪婪程度,远远逊色于
一个乞丐:))
这种假设下,如果"酷毙"接受交换,那么交换后,他的身家分量的数学期望为:
_f1 = 0.5*ln(1-1) + 0.5*ln(4-1) = -inf < 0
因此,同意交换是他的最差策略;
如果"帅呆"接受交换,那么交换之后,他的身家的数学期望为:
-f2 = 0.5*(0.5-1) + 0.5*(2-1) = 0.25 >0
此时,同意交换是他的优势策略。
结论如下:
两人是否做出交换的决定,受手里拿到钱的数量的影响,拿到钱愈多的人,愈倾向
于不交换。
原题推理的错误,在于认为同样数量的金钱,对不同的人影响程度一样,
即纯粹的由数学期望大小出发做出的策略,不一定是最优策略,风险必须被考虑在内;
因此,原悖论的产生,是因为策略最佳的概念被数学期望最大偷换了。
posted on 2008-11-24 20:15
Wang Feng 阅读(2248)
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