以下两个故事出自
zhiqiang的blog
OK，问题阅读完毕，现在我们开始思考这个trick；
问题可以大致归纳如下：一个零和游戏中，博弈双方的数学期望都是正的。
归纳之后，就很容易看出问题的所在了：制造悖论的人，故意将数学期望最大值同最优博弈策略混淆开来：
这里我可以举一个例子，以解释数学期望的最大并不等于博弈策略的最佳：
如果你手头有一亿美金，然后有人拉你去参加一次赌博，这个赌博有这样的特征：
1） 你只有参加一次的机会
2）你必须压上你所有的金钱
3）你获胜的几率是一亿分之一
4）赔率是一赔十亿
请问你参加不参加？
是的，这个赌博的特征，与上边悖论中的大致类似；我猜想只要精神正常的人，大概都会拒绝。
那么，如果你的手头只有一美金（或者一美分）呢？你会不会参加？我不知道你怎么想，反正我会去碰碰运气的：）
其实，在这中赌博中，手头金钱越多的人，越趋向于拒绝参加，表现为风险规避的特征；
而手头拮据的人，即使胜率再低一点，也会跃跃欲试的－－－－想必你已经想到为什么历史上揭竿而起的，多是穷苦大众，
而富足人家，大多对谋朝篡位之类的避之不迭，当然，吕不韦是一个异类，无视他好了。
上边是一个定性的分析，下边给出对第一个悖论数学模型的定量计算：
1. 相同数量的金钱，在拥有不同数量身家的人眼里，分量是不一样的，如：
对于街边乞讨的人和百万富豪来说，一元钱的分量截然不同－－－－据说比尔
大门就是把时间用来数百元大钞，也是亏本的。
2.如承认1. 的假设，那么，上边的"酷毙"与"帅呆"，因为他们分得的金钱数量不
同，也就是身家不同，其决策也应当受到影响，如：
"酷毙"获得金钱为2，"帅呆"获得金钱为1，
那么，引入一个金钱分量函数F(x)，刻画不同身家对个体贪婪程度的影响。
可以假设
"酷毙"的金钱分量函数为 F1(x) = ln(x-1) －－－－分量函数随着金
钱增长而增长，不过缓慢
"帅呆"的金钱分量函数为 F2(x) = x-1 －－－－分量函数随金钱
增长而增长，快速
（注：因为他们都分得了金币而不知道对方分得多少，让他们对当前金钱的满意度
一样，都为0）
（再注：金钱分量函数，刻画的是对金钱的追求的贪婪程度－－－－同等数量的金
钱，个体越贪婪，其分量函数越大－－比尔大门对一元钱的贪婪程度，远远逊色于
一个乞丐：））
这种假设下，如果"酷毙"接受交换，那么交换后，他的身家分量的数学期望为：
_f1 = 0.5*ln(1-1) + 0.5*ln(4-1) = -inf < 0
因此，同意交换是他的最差策略；
如果"帅呆"接受交换，那么交换之后，他的身家的数学期望为：
-f2 = 0.5*(0.5-1) + 0.5*(2-1) = 0.25 >0
此时，同意交换是他的优势策略。
结论如下：
两人是否做出交换的决定，受手里拿到钱的数量的影响，拿到钱愈多的人，愈倾向
于不交换。
原题推理的错误，在于认为同样数量的金钱，对不同的人影响程度一样，
即纯粹的由数学期望大小出发做出的策略，不一定是最优策略，风险必须被考虑在内；
因此，原悖论的产生，是因为策略最佳的概念被数学期望最大偷换了。
posted on 2008-11-24 20:15
Wang Feng 阅读(2260)
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