二、仿射变换(转)

仿射变换是空间直角坐标变换的一种，它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直线”和“平行性”，其可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括平移(Translation)、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切(Shear)。

此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示，其最后一行为(0, 0, 1)。该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y')，这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：

[x']   [m00 m01 m02] [x]   [m00*x+m01*y+m02]

[y'] = [m10 m11 m12] [y] = [m10*x+m11*y+m12]

[1 ]   [ 0   0   1 ] [1]   [     1         ]

用代数式表示如下：

x’ = m00*x+m01*y+m02；

             y’ = m10*x+m11*y+m12；

如果将它写成按旋转、缩放、平移三个分量的复合形式，则其代数式如下：

    其示意图如下：

几种典型的仿射变换：

1.public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)

平移变换，将每一点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：

[   1    0    tx  ]

[   0    1    ty  ]

[   0    0    1   ]

（译注：平移变换是一种“刚体变换”，rigid-body transformation，中学学过的物理，都知道啥叫“刚体”吧，就是不会产生形变的理想物体，平移当然不会改变二维图形的形状。同理，下面的“旋转变换”也是刚体变换，而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。） 

2.public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)

缩放变换，将每一点的横坐标放大（缩小）至sx倍，纵坐标放大（缩小）至sy倍，变换矩阵为：

[   sx   0    0   ]

[   0    sy   0   ]

[   0    0    1   ]

3.public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)

剪切变换，变换矩阵为：

[   1   shx   0   ]

[  shy   1    0   ]

[   0    0    1   ]

相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合

[   1      0    0   ][   1   shx   0   ]

[  shy    1    0   ][   0     1   0  ]

[   0      0    1   ][   0     0    1  ]

（译注：“剪切变换”又称“错切变换”，指的是类似于四边形不稳定性那种性质，街边小商店那种铁拉门都见过吧？想象一下上面铁条构成的菱形拉动的过程，那就是“错切”的过程。） 

4.public static AffineTransform getRotateInstance(double theta)

旋转变换，目标图形围绕原点顺时针旋转theta弧度，变换矩阵为：

[   cos(theta)    -sin(theta)    0   ]

[   sin(theta)     cos(theta)    0   ]

[       0           0            1   ] 

5.public static AffineTransform getRotateInstance(double theta, double x, double y)

旋转变换，目标图形以(x, y)为轴心顺时针旋转theta弧度，变换矩阵为：

[   cos(theta)    -sin(theta)    x-x*cos+y*sin]

[   sin(theta)     cos(theta)    y-x*sin-y*cos ]

[       0              0          1            ]

相当于两次平移变换与一次原点旋转变换的复合：

[1  0  -x][cos(theta)  -sin(theta)  0][1  0  x]

[0  1  -y][sin(theta)   cos(theta)  0][0  1  y]

[0  0  1 ][   0           0        1 ][0  0  1]