例1.平面上有n条直线，它们中任意两条都不平行，且任意三条都不交于一点。这n条直线可以把平面分割成多少个部分？
    此问题的变例（即特殊情况）：
    变例1：十刀最多可以把一张饼分成多少块？
    变例2：一个圆形纸片，切100刀，最多可以将它分割为多少块？
    对变例2 ，我们首先猜测其结论：
    令S₁，S₂，……，S_n分别表示将圆形纸片切一刀，二刀，……，n刀所得块数，则有
    S₁ =2=1+1
    S₂ =4=1+1+2
    S₃ =7=1+1+2+3
    S₄ =11=1+1+2+3+4
    ……
    S_n=1+1+2+3+4+……+n=1+(n+1)·n
    ∴当n=100时，有S₁₀₀=1+（100+1）·100=5051（块）
解：设b_n表示一条直线被n个不同的点分割后所得的分段数，则有b_n=n+1.
    设a_n-1 为平面被符合条件的n-1条直线分割成的部分数，则当平面上插入符合条件的第n条直线时，前 n-1条直线与第n 条直线相交于n-1个不同的点，这n-1个点分第n条直线为b_n-1段，而每一分段恰分平面上一个已存在的部分为两个部分，于是，有：
    a_n =a_n-1 +b_n-1 （n＞1，n∈N）
    又： b_n-1=n
    ∴ a_n=a_n-1+n=a_n-2+ ( n-1)+ n =……
        =n+( n-1)+( n-2)+……+2+a₁
    又：a₁=2=1+1
    ∴a_n=n+( n-1)+( n-2 )+ ……+2+1+1